Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości x_k=7,01 m, licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie x₀=0, y₀ = 2,50 m. Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem: y = -0,174x² + 1,3x + 2,5 Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych. a) Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do 0,01 m): A. 3,04 m B. 3,06 m C. 3,80 m D. 4,93 m b) Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku. c) W opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet. Przyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki jest równy 0,12 m. Oblicz współrzędną x punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) 3,06 m b) 4,93 m c) x ≈ 8,99 m
## a) Wysokość obręczy kosza
Obręcz kosza znajduje się w punkcie x_k = 7,01 m. Podstawiamy do równania toru:
y(7,01) = -0,174 · 7,01² + 1,3 · 7,01 + 2,5
= -0,174 · 49,1401 + 9,113 + 2,5
= -8,5504 + 9,113 + 2,5
= 3,0626 ≈ 3,06 m
Odpowiedź: B (3,06 m)
## b) Maksymalna wysokość toru
Wyznaczamy wierzchołek paraboli y = -0,174x² + 1,3x + 2,5.
Współrzędna x wierzchołka: x_w = -b/(2a) = -1,3/(2 · (-0,174)) = 1,3/0,348 ≈ 3,7356
Maksymalna wysokość: y_w = -0,174 · 3,7356² + 1,3 · 3,7356 + 2,5
= -0,174 · 13,9547 + 4,8563 + 2,5
= -2,4281 + 4,8563 + 2,5
= 4,9282 ≈ 4,93 m
Odpowiedź: Maksymalna wysokość wynosi 4,93 m.
## c) Współrzędna x w momencie dotknięcia parkietu
Piłka dotyka parkietu, gdy dolny punkt piłki znajduje się na poziomie y = 0. Ponieważ promień piłki wynosi r = 0,12 m, środek piłki jest wtedy na wysokości: y_(środka) = 0,12
Rozwiązujemy równanie: -0,174x² + 1,3x + 2,5 = 0,12
-0,174x² + 1,3x + 2,38 = 0
Mnożymy przez (-1): 0,174x² - 1,3x - 2,38 = 0
Obliczamy deltę: Δ= (-1,3)² - 4 · 0,174 · (-2,38)
= 1,69 + 1,6563 = 3,3463
√(Δ) ≈ 1,8293
Dwa rozwiązania: x = (1,3 ± 1,8293)/(2 · 0,174) = (1,3 ± 1,8293)/0,348
Bierzemy rozwiązanie dodatnie (piłka jest za koszem): x = (1,3 + 1,8293)/0,348 = 3,1293/0,348 ≈ 8,99
Odpowiedź: x ≈ 8,99 m
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.