Zadania CKE z funkcji kwadratowej z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Funkcja kwadratowa to najczęściej testowany dział na maturze podstawowej z matematyki - i jednocześnie jeden z najbardziej schematycznych. Delta, wierzchołek, postać kanoniczna i iloczynowa, wzory Viète'a: te same narzędzia wracają rok w rok, tylko w innych liczbach. W naszej bazie masz zadania z funkcji kwadratowej pochodzące z prawdziwych arkuszy CKE, każde z rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań się powtarzają, i prowadzi przez sześć rozwiązanych przykładów w stylu CKE.

Jeśli akurat przygotowujesz się do sierpniowej poprawki, ten dział zacznij jako pierwszy - dlaczego, tłumaczę w tekście poprawka z matematyki sierpień 2026 - jak się przygotować.

Ile funkcji kwadratowej jest na maturze

Funkcja kwadratowa pojawia się na praktycznie każdym arkuszu podstawowym - zwykle jako kilka zadań zamkniętych i przynajmniej jedno zadanie otwarte. To realnie od 4 do 8 punktów na jednym egzaminie. Przy progu zdawalności na poziomie 30 procent to są punkty, których nie wolno oddawać walkowerem.

Dobra wiadomość: ten dział jest wyjątkowo przewidywalny. Zadania sprowadzają się do kilku powtarzalnych typów - obliczanie miejsc zerowych, wyznaczanie wierzchołka, zamiana postaci, stosowanie wzorów Viète'a, rozwiązywanie nierówności kwadratowych, szukanie wartości najmniejszej i największej. Jak opanujesz te schematy na zadaniach CKE, rozwiążesz prawie każde zadanie z tego działu. Pełną teorię znajdziesz w przewodniku funkcja kwadratowa na maturze.

Co musisz umieć - komplet wzorów

Zanim rzucisz się na zadania, upewnij się, że masz w głowie te wzory. Wszystkie są w karcie wzorów CKE, ale ich znajomość na pamięć oszczędza mnóstwo czasu na egzaminie.

Postać ogólna funkcji kwadratowej:

$f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\neq 0$

Wyróżnik (delta), od którego zależy liczba miejsc zerowych:

$\Delta=b^2-4ac$

Miejsca zerowe, gdy $\Delta>0$:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Współrzędne wierzchołka paraboli:

$p=\frac{-b}{2a},\quad q=\frac{-\Delta}{4a}$

Postać kanoniczna (z wierzchołkiem $(p,q)$):

$f(x)=a(x-p)^2+q$

Postać iloczynowa (gdy istnieją miejsca zerowe $x_1, x_2$):

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

Wzory Viète'a wiążące pierwiastki ze współczynnikami:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\quad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Liczba miejsc zerowych zależy od znaku delty: dla $\Delta>0$ są dwa, dla $\Delta=0$ jedno (podwójne), a dla $\Delta<0$ nie ma ich wcale. Ta jedna zależność jest kluczem do połowy zadań zamkniętych z tego działu.

Baza zadań CKE według typu

Zadania z funkcji kwadratowej dzielą się na zamknięte (1 punkt, wybór odpowiedzi) i otwarte (2-5 punktów, pełne rozwiązanie). Oto najczęstsze typy i gdzie je ćwiczyć.

Najwięcej zadań tego działu pochodzi z arkuszy CKE 2015-2023 oraz z najnowszych arkuszy pokazowych CKE 2025. Wszystkie rozwiążesz w trybie nauki, gdzie po każdym zadaniu dostajesz pełne rozwiązanie.

Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Poniżej sześć zadań z funkcji kwadratowej w stylu CKE, każde rozwiązane od początku do końca. Ten sam zestaw schematów znajdziesz w setkach zadań w bazie.

Zadanie 1

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=x^2-5x+6$.

Liczymy deltę: $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

$\Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$

Ponieważ $\Delta>0$, są dwa miejsca zerowe. Liczymy $\sqrt{\Delta}=1$:

$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$

Miejsca zerowe to $x=2$ oraz $x=3$.

Zadanie 2

Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli $f(x)=x^2-4x+3$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Współrzędna $p$: $a=1$, $b=-4$, więc

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2$

Współrzędną $q$ najprościej policzyć, podstawiając $p$ do wzoru funkcji:

$q=f(2)=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1$

Wierzchołek ma współrzędne $(2,-1)$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 3

Zapisz funkcję $f(x)=x^2-6x+5$ w postaci kanonicznej.

Potrzebujemy wierzchołka. $p=\frac{6}{2}=3$, a $q=f(3)=9-18+5=-4$. Postać kanoniczna to $f(x)=a(x-p)^2+q$, więc

$f(x)=(x-3)^2-4$

Sprawdzamy, rozwijając: $(x-3)^2-4=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5$. Zgadza się.

Zadanie 4

Liczby $x_1$ i $x_2$ są pierwiastkami równania $x^2-7x+10=0$. Oblicz $x_1+x_2$ oraz $x_1\cdot x_2$ bez rozwiązywania równania.

Korzystamy ze wzorów Viète'a. Tu $a=1$, $b=-7$, $c=10$.

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{7}{1}=7,\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{10}{1}=10$

Suma pierwiastków to $7$, a iloczyn $10$. Dla kontroli: pierwiastkami są $2$ i $5$, a $2+5=7$ i $2\cdot 5=10$.

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność $x^2-x-6>0$.

Najpierw miejsca zerowe. $\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25$, $\sqrt{\Delta}=5$.

$x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{1+5}{2}=3$

Ramiona paraboli są skierowane w górę ($a>0$), a nierówność jest ostra i "większe od zera". Wartości dodatnie funkcja przyjmuje na zewnątrz pierwiastków. Rozwiązaniem jest

$x\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$

Zadanie 6

Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f(x)=x^2-4x+1$ w przedziale $\langle 0, 3\rangle$.

Ramiona są skierowane w górę, więc najmniejsza wartość jest w wierzchołku, o ile mieści się on w przedziale. Współrzędna $p=\frac{4}{2}=2$, a $2$ należy do $\langle 0,3\rangle$, więc liczymy $q$:

$q=f(2)=4-8+1=-3$

Najmniejsza wartość funkcji w tym przedziale to $-3$. Uwaga: gdyby wierzchołek wypadł poza przedziałem, najmniejszej wartości szukalibyśmy na jego końcach.

Najczęstsze pułapki

Po przerobieniu kilkudziesięciu zadań z tego działu zauważysz, że punkty najczęściej lecą przez te same rzeczy.

Pułapka pierwsza: znak współczynnika $b$ we wzorze na $p$. We wzorze $p=\frac{-b}{2a}$ łatwo zgubić minus. Gdy $b=-4$, to $p=\frac{-(-4)}{2a}=\frac{4}{2a}$, a nie $\frac{-4}{2a}$.

Pułapka druga: zły kierunek przedziału w nierówności kwadratowej. O tym, czy bierzesz "między pierwiastkami" czy "na zewnątrz", decyduje znak $a$ (kierunek ramion) i typ nierówności. Zawsze pomyśl o wykresie, zanim zapiszesz odpowiedź.

Pułapka trzecia: mylenie postaci kanonicznej z iloczynową. Kanoniczna $a(x-p)^2+q$ zawsze istnieje, iloczynowa $a(x-x_1)(x-x_2)$ tylko wtedy, gdy $\Delta\geq 0$. Przy $\Delta<0$ postaci iloczynowej nie ma.

Pułapka czwarta: zapominanie o warunku $a\neq 0$. Jeśli w zadaniu pojawia się parametr przy $x^2$, musisz osobno rozważyć przypadek, gdy ten współczynnik jest zerem - wtedy funkcja przestaje być kwadratowa.

Jak systematycznie eliminować takie wpadki, opisałem w tekstach błędy rachunkowe na maturze - jak unikać oraz jak sprawdzać odpowiedzi na maturze.

Jak ćwiczyć ten dział efektywnie

Najlepszy sposób na funkcję kwadratową to dużo zadań z natychmiastową informacją zwrotną. Oto jak to ułożyć na sprawnamatura.pl.

Zacznij od trybu losowego z filtrem na funkcję kwadratową - dostajesz zadanie po zadaniu, a po każdym pełne rozwiązanie. Gdy utkniesz na własnym zadaniu albo chcesz sprawdzić obliczenia, wrzuć je do solvera, który rozpisze rozwiązanie nawet ze zdjęcia. Kiedy typy zaczną wchodzić automatycznie, rozwiąż cały arkusz CKE albo przejdź przez symulator matury, żeby przećwiczyć dział pod presją czasu. Postępy śledź na stronie statystyk.

Ten dział świetnie nadaje się na start nauki, bo jest schematyczny i daje pewne punkty. Dlatego stawiam go na pierwszym miejscu w planie na poprawkę z matematyki w sierpniu 2026. Więcej zadań z pokrewnych działów znajdziesz w hubach zadania CKE z równań i nierówności oraz zadania CKE z ciągów.

Najczęstsze pytania

Podsumowanie - co musisz umieć

Z funkcji kwadratowej na maturze podstawowej musisz pewnie: liczyć deltę i miejsca zerowe, wyznaczać wierzchołek, zamieniać postacie funkcji, stosować wzory Viète'a, rozwiązywać nierówności kwadratowe i szukać wartości najmniejszej oraz największej w przedziale. To zestaw, który zamyka większość zadań z tego działu.

Masz tu komplet zadań CKE z funkcji kwadratowej z rozwiązaniami krok po kroku - zacznij je przerabiać w trybie nauki już dziś. A jeśli przygotowujesz się do sierpniowej poprawki, koniecznie zajrzyj do planu poprawka z matematyki sierpień 2026.

Następny krok Losuj kolejne zadanie