Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c, przechodzi przez punkt (-2,10) oraz f(-1)=f(3)=0. Oblicz odległość wierzchołka paraboli od początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: √(65)
Skoro f(-1) = f(3) = 0, to liczby -1 i 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej.
## Krok 1: Postać iloczynowa funkcji
Funkcję kwadratową z miejscami zerowymi x₁ = -1 i x₂ = 3 zapisujemy w postaci iloczynowej:
f(x) = a(x + 1)(x - 3)
## Krok 2: Wyznaczenie współczynnika a
Wykorzystujemy warunek, że parabola przechodzi przez punkt (-2, 10):
f(-2) = 10
a(-2 + 1)(-2 - 3) = 10
a · (-1) · (-5) = 10
5a = 10
a = 2
## Krok 3: Wzór funkcji
f(x) = 2(x + 1)(x - 3)
## Krok 4: Współrzędne wierzchołka
Dla funkcji kwadratowej z miejscami zerowymi x₁ i x₂, współrzędna x wierzchołka to:
x_w = (x₁ + x₂)/2 = (-1 + 3)/2 = 2/2 = 1
Współrzędna y wierzchołka:
y_w = f(1) = 2(1 + 1)(1 - 3) = 2 · 2 · (-2) = -8
Wierzchołek paraboli ma współrzędne W = (1, -8).
## Krok 5: Odległość wierzchołka od początku układu
Odległość punktu (1, -8) od punktu (0, 0) obliczamy ze wzoru na odległość między dwoma punktami:
d = √((1-0)² + (-8-0)²) = √(1 + 64) = √(65)
Odpowiedź: √(65)
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.