Zestaw danych: x₁,x₂,x₃,...,x_n ma średnią arytmetyczną a i odchylenie standardowe s. Wykaż, że zestaw danych: (x₁-a)/s, (x₂-a)/s, (x₃-a)/s,...,(x_n-a)/s ma średnią arytmetyczną 0.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że średnia arytmetyczna jest równa 0
Oznaczmy nowy zestaw danych jako y₁, y₂, y₃, ..., y_n, gdzie:
y_i = (x_i - a)/s dla i = 1, 2, 3, ..., n
Obliczenie średniej arytmetycznej nowego zestawu:
Średnia arytmetyczna zestawu y₁, y₂, ..., y_n wynosi:
y = 1/n_(i=1)^n y_i = 1/n_(i=1)^n (x_i - a)/s
Wykorzystanie własności sumy:
y = 1/n · 1/s _(i=1)^n (x_i - a)
y = 1/ns _(i=1)^n (x_i - a)
Rozwinięcie sumy:
y = 1/ns (_(i=1)^n x_i - _(i=1)^n a)
y = 1/ns (_(i=1)^n x_i - na)
Wykorzystanie definicji średniej arytmetycznej:
Z definicji wiemy, że a = 1/n_(i=1)^n x_i, czyli:
_(i=1)^n x_i = na
Podstawienie:
y = 1/ns(na - na) = 1/ns · 0 = 0
Wniosek:
Średnia arytmetyczna zestawu danych (x₁-a)/s, (x₂-a)/s, ..., (x_n-a)/s wynosi 0.
Statystyka: Średnia, mediana, dominanta i odchylenie standardowe oraz odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów.