Kalkulator statystyczny: średnia, mediana, odchylenie

Zestaw danych opisują cztery liczby: średnia to suma podzielona przez liczbę danych, mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu, dominanta to wartość powtarzająca się najczęściej, a odchylenie standardowe mierzy rozrzut wokół średniej. Na maturze wariancję liczy się populacyjnie, czyli dzieli przez n. Kalkulator podaje wszystkie te wielkości z tabelą odchyleń.

Kalkulator online

x = (x₁ + x₂ + ...+ x_n)/n, σ= √((x_i - x)²/n)

Dane liczbowe

Liczby oddzielaj spacją, średnikiem albo nową linią. Przecinek między cyframi to przecinek dziesiętny, więc 1,5 2,5 to dwie liczby. Jeżeli w całym wpisie nie ma ani spacji, ani średnika, przecinki działają jak separatory, więc 1,2,3,4 to cztery liczby. Wpis, który cały jest jedną liczbą dziesiętną, zostaje tą jedną liczbą: 2,5 to dwa i pół.

Na maturze obowiązuje wariant populacyjny: w mianowniku stoi n, czyli liczba wszystkich danych.

Liczba danych: n = 8

Suma: Σxᵢ = 40

Średnia arytmetyczna: x̄ = 5

Mediana: Me = 4,5

Dominanta: D = 4 (występuje 3 razy)

Rozstęp: R = 9 - 2 = 7

Wariancja populacyjna: σ² = 4

Odchylenie standardowe populacyjne: σ = 2

Wzór na wariancję: σ² = (x_i - x)²/n = 32/8 = 4

Odchylenie standardowe: σ= √(4) = 2

Średnia arytmetycznax = (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9)/8 = 40/8 = 5
Mediana: dane uporządkowane, bierzemy średnią dwóch środkowych2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ⇒ Me = (4 + 5)/2 = 4,5
Odchylenia od średniej i ich kwadratyx_i x_i - x (x_i - x)² 2 -3 9 4 -1 1 4 -1 1 4 -1 1 5 0 0 5 0 0 7 2 4 9 4 16
Wariancja populacyjnaσ² = 32/8 = 4
Odchylenie standardoweσ= √(4) = 2

Każda kropka to jedna dana, powtórzone wartości leżą jedna nad drugą. Przerywana pionowa linia to średnia arytmetyczna.

\sigma = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}}

Jak to policzyć

Uporządkuj dane niemalejącoZanim policzysz cokolwiek poza średnią, ustaw liczby od najmniejszej do największej. Mediana, dominanta i rozstęp odczytuje się dopiero z uporządkowanego zestawu, a najczęstszy błąd w zadaniach z medianą to wzięcie środkowej liczby z listy w kolejności podanej w treści. Uporządkowanie jest też jedyną sensowną kontrolą, czy przepisałeś wszystkie dane i nic nie zgubiłeś po drodze.
Policz średnią arytmetycznąDodaj wszystkie liczby i podziel sumę przez ich liczbę. Zapisz wynik dokładnie, ułamkiem zwykłym, jeżeli dzielenie nie wychodzi równo. Średnia jest podstawą wszystkich dalszych rachunków, a zaokrąglenie jej w tym miejscu przenosi się na każde odchylenie osobno i po podniesieniu do kwadratu rozjeżdża wariancję na tyle, że wynik przestaje być poprawny.
Odczytaj medianę i dominantęPrzy nieparzystej liczbie danych mediana to po prostu wyraz środkowy. Przy parzystej to średnia arytmetyczna dwóch wyrazów środkowych, więc mediana wcale nie musi należeć do zestawu. Dominanta to wartość występująca najczęściej. Jeżeli każda liczba pojawia się dokładnie raz, dominanty nie ma, a jeżeli kilka wartości ma tę samą największą liczebność, dominant jest kilka i wszystkie należy wypisać.
Zbuduj tabelę odchyleń i policz wariancjęDla każdej danej wypisz odchylenie od średniej, czyli różnicę wartości i średniej, a potem jego kwadrat. Dodaj kwadraty i podziel sumę przez liczbę danych. To jest wariancja. Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji, więc podaje się je w tej samej jednostce, co dane, i to ono odpowiada na pytanie o rozrzut wyników.

Przykład z matury

Matura maj 2025Zadanie 36Statystyka1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb:

1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,x,\,y

jest równa

3

. Suma

x+y

jest równa

Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku

Mediana kontra średnia, czyli po co dwie miary środka

Średnia bierze pod uwagę każdą liczbę z osobna, więc jedna wartość skrajna potrafi ją przesunąć bardzo daleko. Klasyczny przykład maturalny to zestaw pensji, w którym jedna osoba zarabia kilka razy więcej niż reszta: średnia wychodzi wyższa niż zarobki większości pracowników i przestaje opisywać typową sytuację. Mediana takiej wrażliwości nie ma, bo zależy wyłącznie od tego, która wartość leży w środku uporządkowanego zestawu.

Dlatego zadania CKE bardzo często pytają o obie miary naraz albo każą je porównać. Kiedy średnia jest wyraźnie większa od mediany, zestaw ma wartości odstające w górę; kiedy jest mniejsza, odstające w dół. Rozpisane przykłady obu przypadków zebraliśmy we wpisie o średniej, medianie i dominancie.

Wariancja i odchylenie standardowe w wersji maturalnej

\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}, \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}

Dlaczego kalkulator dzieli przez n, a nie przez n minus jeden

W arkuszu maturalnym obowiązuje wariancja populacyjna: w mianowniku stoi n, czyli liczba wszystkich danych. Tak brzmi wzór w karcie wzorów CKE i tak liczą klucze odpowiedzi. Wariancja próbkowa, z mianownikiem n minus jeden, pojawia się dopiero na studiach i służy szacowaniu rozrzutu całej populacji na podstawie próby. Kalkulatory statystyczne z internetu bardzo często domyślnie liczą właśnie ten wariant, bo pisano je z myślą o statystyce akademickiej.

Różnica nie jest kosmetyczna. Dla ośmiu danych dzielenie przez siedem zamiast przez osiem podnosi wariancję o niemal piętnaście procent, a odchylenie standardowe o siedem. Przełącznik pod polem pozwala przestawić mianownik na n minus jeden i zobaczyć, o ile zmienia się wynik, ale wartość domyślna jest maturalna. Pełne wyprowadzenie obu wzorów opisaliśmy w tekście o tym, jak obliczyć odchylenie standardowe i wariancję.

Dane z tabeli liczebności i średnia ważona

Znaczna część zadań ze statystyki nie podaje danych listą, tylko tabelą liczebności albo diagramem słupkowym. Wtedy średnią liczy się jako sumę iloczynów wartości i jej liczebności podzieloną przez sumę liczebności, czyli po prostu jako średnią ważoną. Mediana też ma tam swój skrót: sumujesz liczebności od lewej, aż przekroczysz połowę wszystkich danych, i wartość, na której się zatrzymasz, jest medianą. Skrót działa wprost przy nieparzystej liczbie danych; przy parzystej, jeżeli suma liczebności trafi równo w połowę zestawu, medianą jest średnia tej wartości i następnej.

W kalkulatorze wystarczy rozpisać taką tabelę na pojedyncze liczby, powtarzając każdą wartość tyle razy, ile wynosi jej liczebność. Przy kilkunastu danych to kilka sekund pisania, a rachunek zostaje dokładnie ten sam. Osobny wzór na średnią z wagami opisaliśmy na stronie wzoru na średnią ważoną, a zestaw zadań z arkuszy CKE znajdziesz we wpisie o statystyce na maturze.

Wynik dokładny w postaci ułamka, na przykład wariancja zestawu 4, 5, 5 równa 2 przez 9, jest na arkuszu punktowany, a jego przybliżenie dziesiętne zwykle nie. Kalkulator zostawia ułamek ułamkiem wszędzie tam, gdzie rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone, a przybliżenie podaje wyłącznie dla odchylenia standardowego, które prawie zawsze jest liczbą niewymierną.

Pułapki maturalne

Mediana zestawu o parzystej liczebności nie musi być w zestawie

Przy parzystej liczbie danych medianę liczy się jako średnią dwóch wyrazów środkowych, więc dla zestawu złożonego z samych liczb całkowitych może wyjść liczba z połówką. Odpowiedź w rodzaju „mediana to czwarta liczba na liście” jest wtedy po prostu nieprawdziwa. Drugi wariant tego samego błędu to liczenie mediany z danych w kolejności podanej w treści zadania, bez uporządkowania.

Dominanty może nie być wcale albo może być kilka

Jeżeli w zestawie każda wartość pojawia się dokładnie raz, dominanty nie ma i tak brzmi poprawna odpowiedź. Jeżeli dwie różne wartości występują po trzy razy, a wszystkie pozostałe rzadziej, dominanty są dwie i trzeba wypisać obie. Wskazanie jednej z nich, bo stoi wcześniej na liście, nie dostaje pełnej punktacji, mimo że wygląda na odpowiedź prawie poprawną.

Odchylenie standardowe to pierwiastek, a nie sama wariancja

Wariancja jest w kwadracie jednostki, w której wyrażone są dane, więc sama w sobie nie odpowiada na pytanie o rozrzut wyników. Podanie wariancji tam, gdzie zadanie pyta o odchylenie standardowe, jest błędem merytorycznym, nie rachunkowym. Warto to sprawdzać na końcu: odchylenie standardowe zestawu nigdy nie jest większe od jego rozstępu, a przy typowych danych szkolnych jest wyraźnie mniejsze.

Najczęściej zadawane pytania

Policz średnią arytmetyczną, potem dla każdej danej różnicę między nią a średnią, podnieś te różnice do kwadratu i dodaj. Sumę podziel przez liczbę danych, a z wyniku wyciągnij pierwiastek kwadratowy. Dla zestawu 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 średnia wynosi 5, suma kwadratów odchyleń 32, wariancja 4, a odchylenie standardowe 2.

Przez n, czyli przez liczbę wszystkich danych. Karta wzorów CKE podaje wyłącznie wariant populacyjny i tak liczą klucze odpowiedzi. Wariant z mianownikiem n minus jeden to wariancja próbkowa ze statystyki akademickiej i na arkuszu maturalnym dałby wynik uznany za błędny.

Uporządkuj dane niemalejąco, wskaż dwa wyrazy środkowe i policz ich średnią arytmetyczną. Dla zestawu 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 środkowe są czwarty i piąty wyraz, czyli 4 oraz 5, więc mediana wynosi 4,5. Mediana nie musi należeć do zestawu danych.

Dominanta to wartość, która w zestawie występuje najczęściej. Jeżeli wszystkie wartości pojawiają się dokładnie po jednym razie, dominanty nie ma. Jeżeli kilka wartości ma tę samą, największą liczebność, dominant jest kilka i poprawna odpowiedź wymienia je wszystkie.

Na egzaminie z matematyki wolno mieć wyłącznie kalkulator prosty, bez funkcji statystycznych. Średnią, wariancję i odchylenie liczy się ręcznie, z tabelą odchyleń, i to ten rachunek jest punktowany. Narzędzie wyżej pokazuje każde podstawienie po to, żeby sprawdzić własne obliczenia, a nie żeby je zastąpić.