Zadania CKE ze statystyki z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Zadania CKE ze statystyki z rozwiązaniami - baza wg działu

Statystyka to jeden z tych działów, które na maturze podstawowej oddaje się za darmo albo zbiera bez wysiłku, w zależności od tego, czy ktoś usiadł do niego wcześniej. Rachunki są proste, wzorów jest garść, a zadania powtarzają się rok w rok. W naszej bazie znajdziesz ponad 60 zadań ze statystyki z prawdziwych arkuszy CKE, od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze pokazowe i próbne. Każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań wracają i prowadzi przez sześć rozwiązanych przykładów w stylu CKE.

Ile statystyki jest na maturze

Statystyka pojawia się na praktycznie każdym arkuszu podstawowym, zwykle jako jedno lub dwa zadania zamknięte za 1 punkt, a czasem jedno zadanie otwarte za 2-4 punkty przy odczycie danych z diagramu. To realnie od 2 do 6 punktów na arkuszu. Przy progu zdawalności na poziomie 30 procent to są punkty, których po prostu nie wolno oddawać, bo zadania są przewidywalne.

Dobra wiadomość: ten dział prawie się nie zmienia. Zadania sprowadzają się do kilku powtarzalnych typów: obliczanie średniej (często z niewiadomą), wyznaczanie mediany, odczyt dominanty i rozstępu, liczenie odchylenia standardowego oraz interpretacja danych z tabeli lub diagramu. Jak opanujesz te schematy na zadaniach CKE, rozwiążesz prawie każde zadanie z tego działu. Pełną teorię znajdziesz w przewodniku statystyka na maturze oraz w tekstach średnia, mediana i dominanta i odchylenie standardowe i wariancja.

Co musisz umieć - mapa działu

Zanim rzucisz się na zadania, sprawdź, czy znasz komplet miar statystycznych. Nie wszystkie są w karcie wzorów CKE, więc kilka warto mieć w głowie.

Średnia arytmetyczna $n$ liczb to ich suma podzielona przez ich liczbę:

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$

Średnia ważona, gdy dane mają wagi $w_1, w_2, \ldots, w_n$ (na przykład oceny liczone różną liczbą razy):

$\bar{x}_w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\ldots+w_nx_n}{w_1+w_2+\ldots+w_n}$

Mediana to wartość środkowa uporządkowanego zestawu. Dla nieparzystej liczby danych to po prostu środkowy wyraz, a dla parzystej średnia dwóch środkowych wyrazów.

Dominanta (moda) to wartość, która występuje najczęściej. Zestaw może mieć jedną dominantę, kilka albo żadnej.

Rozstęp to różnica między największą a najmniejszą wartością:

$R=x_{max}-x_{min}$

Wariancja to średnia kwadratów odchyleń od średniej:

$\sigma^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2\right]$

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:

$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$

Każdy z tych wątków ma u nas osobny poradnik z zadaniami: jak obliczyć medianę i dominantę, jak obliczyć średnią ważoną oraz statystyka na maturze.

Baza zadań CKE według typu

Zadania ze statystyki dzielą się na zamknięte (1 punkt, wybór odpowiedzi) i otwarte (2-6 punktów, pełne rozwiązanie z odczytem danych). Oto jak rozkładają się najczęstsze typy i gdzie je ćwiczyć.

Najwięcej zadań tego działu pochodzi z arkuszy CKE 2015-2025 oraz z arkuszy próbnych i diagnostycznych. Kilka konkretnych, które warto rozwiązać: zadanie z matury maj 2025 z odczytem diagramu, zadanie z matury maj 2023 z medianą oraz duże zadanie otwarte CKE 2025 z rozkładem zarobków. Wszystkie rozwiążesz w trybie nauki, gdzie po każdym zadaniu dostajesz pełne rozwiązanie.

Jak czytać diagram i tabelę liczebności

Sporo zadań ze statystyki nie wymaga trudnych rachunków, tylko poprawnego odczytu danych, i właśnie na tym odczycie najczęściej traci się punkty. W tabeli liczebności każda wartość ma przypisaną liczbę wystąpień, więc zanim policzysz średnią, wypisz oddzielnie wartości i ich liczebności. Przy diagramie słupkowym wysokość słupka to liczebność, a na diagramie kołowym cały okrąg odpowiada stu procentom wszystkich danych. Zawsze najpierw przełóż obrazek na konkretne liczby, dopiero potem wrzucaj je do wzoru. Ta jedna zasada eliminuje większość błędów w zadaniach otwartych z tego działu, w których dane podane są w formie wykresu.

Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Poniżej sześć zadań ze statystyki w stylu CKE, każde rozwiązane od początku do końca. Ten sam zestaw schematów znajdziesz w zadaniach z bazy.

Zadanie 1

Średnia arytmetyczna sześciu liczb $3, 1, 1, 0, x, 2$ jest równa $2$. Wyznacz $x$.

Zapisujemy definicję średniej i podstawiamy dane:

$\frac{3+1+1+0+x+2}{6}=2$

Sumujemy znane składniki: $3+1+1+0+2=7$, więc licznik to $7+x$. Mnożymy obie strony przez $6$:

$7+x=12$

Stąd $x=5$. To najczęstszy typ zadania zamkniętego ze statystyki: średnia jest dana, brakuje jednej liczby.

Zadanie 2

Uczeń dostał oceny: $3$ z wagą $1$, $4$ z wagą $2$, $5$ z wagą $3$ oraz $2$ z wagą $1$. Oblicz jego średnią ważoną.

Korzystamy ze wzoru na średnią ważoną. W liczniku suma iloczynów ocena razy waga, w mianowniku suma wag:

$\bar{x}_w=\frac{3\cdot 1+4\cdot 2+5\cdot 3+2\cdot 1}{1+2+3+1}=\frac{3+8+15+2}{7}=\frac{28}{7}=4$

Średnia ważona wynosi $4$. Zwróć uwagę, że gdyby liczyć zwykłą średnią z ocen $3, 4, 5, 2$, wyszłoby $3{,}5$. Wagi zmieniają wynik i o to w tym typie zadania chodzi.

Zadanie 3

Wyznacz medianę zestawu siedmiu liczb: $2, 4, 4, 5, 7, 9, 12$, a następnie mediany zestawu sześciu liczb: $2, 4, 4, 5, 7, 9$.

Dane są już uporządkowane rosnąco. Dla siedmiu liczb (nieparzysta liczba danych) mediana to wyraz środkowy, czyli czwarty:

$Me=5$

Dla sześciu liczb (parzysta liczba danych) mediana to średnia dwóch środkowych wyrazów, czyli trzeciego i czwartego:

$Me=\frac{4+5}{2}=4{,}5$

Najczęstszy błąd to szukanie mediany w danych nieuporządkowanych. Zawsze najpierw ustaw liczby rosnąco.

Zadanie 4

Dla zestawu $3, 5, 5, 5, 7, 8, 10$ wyznacz dominantę i rozstęp.

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Liczba $5$ pojawia się trzy razy, częściej niż każda inna, więc:

$D=5$

Rozstęp to różnica między największą a najmniejszą wartością:

$R=10-3=7$

Dominanta i rozstęp to najszybsze punkty w całym dziale, bo nie wymagają żadnych obliczeń, tylko uważnego odczytu.

Zadanie 5

Oblicz odchylenie standardowe zestawu liczb: $2, 4, 6, 8, 10$.

Najpierw średnia:

$\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6$

Teraz kwadraty odchyleń od średniej: $(2-6)^2=16$, $(4-6)^2=4$, $(6-6)^2=0$, $(8-6)^2=4$, $(10-6)^2=16$. Ich suma to $40$. Wariancja to średnia tych kwadratów:

$\sigma^2=\frac{40}{5}=8$

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:

$\sigma=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$

To jedyny typ zadania ze statystyki, który realnie wymaga dłuższego rachunku, dlatego pojawia się głównie w zadaniach otwartych.

Zadanie 6

W tabeli zebrano oceny klasy: ocenę $2$ dostało $3$ uczniów, ocenę $3$ dostało $5$ uczniów, ocenę $4$ dostało $8$ uczniów, a ocenę $5$ dostało $4$ uczniów. Oblicz średnią ocen.

Liczba wszystkich ocen to suma liczebności:

$n=3+5+8+4=20$

Suma wszystkich ocen to suma iloczynów ocena razy liczebność:

$2\cdot 3+3\cdot 5+4\cdot 8+5\cdot 4=6+15+32+20=73$

Średnia to suma podzielona przez liczbę ocen:

$\bar{x}=\frac{73}{20}=3{,}65$

Odczyt danych z tabeli liczebności to najczęstsza forma zadania otwartego z tego działu. Ćwicz go na prawdziwych arkuszach w trybie egzaminu.

Najczęstsze pułapki

Szukanie mediany w danych nieuporządkowanych. Mediana ma sens dopiero po ustawieniu liczb rosnąco. To błąd numer jeden w całym dziale.

Mylenie średniej z medianą. Średnia uwzględnia wartości skrajne, mediana nie. W zestawie $1, 2, 3, 4, 100$ średnia to $22$, a mediana $3$. Jeśli zadanie pyta o wartość typową, zwykle chodzi o medianę.

Zapominanie o wagach. W średniej ważonej nie dzielisz przez liczbę danych, tylko przez sumę wag. Podzielenie przez liczbę ocen zamiast przez sumę wag to klasyczna strata punktu.

Błędny mianownik odchylenia. W maturalnej definicji wariancji dzielisz przez $n$, czyli liczbę wszystkich danych, a nie przez $n-1$. Wersja z $n-1$ to statystyka akademicka, nie maturalna.

Odczyt z diagramu na oko. Przy diagramach słupkowych i kołowych zawsze wypisz dane liczbowo, zanim zaczniesz liczyć. Zgadywanie wysokości słupka kosztuje punkty.

FAQ

Podsumowanie: co musisz umieć

Definicje pięciu miar: średniej (zwykłej i ważonej), mediany, dominanty, rozstępu i odchylenia standardowego. Odruch porządkowania danych przed liczeniem mediany. Umiejętność odczytu liczebności z tabeli i diagramu. Pamięć o tym, że w maturalnej wariancji dzielisz przez $n$.

Masz wzory, tabelę typów i sześć rozwiązanych przykładów. Teraz brakuje tylko treningu: wejdź na zadania ze statystyki i rozwiąż pierwsze z nich jeszcze dziś. A jeśli uczysz się głównie z filmów, przeczytaj wcześniej nauka matematyki z YouTube do matury - czy same filmy wystarczą, bo bez samodzielnego rozwiązywania nawet najlepszy zbiór zadań nie zamieni się w punkty.

Następny krok Losuj kolejne zadanie