Jak obliczyć medianę i dominantę - wzór, krok po kroku, zadania

Mediana i dominanta to dwa pojęcia ze statystyki, które na maturze z matematyki wracają jak bumerang. Pojawiają się w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, w zadaniach z tabelą danych, a często też jako element większego zadania otwartego. Dobra wiadomość jest taka: to są pewne punkty. Wystarczy, że ogarniesz prosty schemat, a nigdy więcej ich nie pomylisz. W tym wpisie pokażę ci dokładnie jak obliczyć medianę i dominantę krok po kroku - na zwykłych danych i na szeregu rozdzielczym (czyli z tabeli częstości). Zrobimy razem pięć zadań w stylu maturalnym.

Jeśli chcesz najpierw ogarnąć całą statystykę od podstaw, zajrzyj do przewodnika statystyka na maturze. Tutaj skupiamy się na dwóch konkretnych liczbach: medianie i dominancie. Całą teorię znajdziesz też w dziale Statystyka, gdzie czekają na ciebie prawdziwe zadania maturalne z rozwiązaniami.

Mediana - definicja, którą musisz znać

Mediana to wartość środkowa zestawu danych uporządkowanego rosnąco. Dzieli ona dane na dwie równe części: połowa wyników jest od niej mniejsza lub równa, a połowa większa lub równa.

Kluczowe słowo to "uporządkowanego". To jest cały sekret mediany. Zanim cokolwiek policzysz, musisz ustawić dane od najmniejszej do największej. Jeśli tego nie zrobisz, wynik będzie zły, choćbyś liczył idealnie.

Sposób liczenia zależy od tego, ile masz danych. Oznaczmy liczbę danych przez $n$.

Gdy $n$ jest nieparzyste, mediana to po prostu wyraz środkowy. Jego pozycję (numer w uporządkowanym ciągu) znajdziesz ze wzoru:

$$\text{pozycja} = \frac{n+1}{2}.$$

Gdy $n$ jest parzyste, środkowe są dwa wyrazy: na pozycjach $\frac{n}{2}$ oraz $\frac{n}{2}+1$. Mediana to ich średnia arytmetyczna:

$$M_e = \frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}.$$

Zapamiętaj prosto: nieparzysta liczba danych - jeden środek, parzysta liczba danych - średnia dwóch środków.

Jak obliczyć medianę krok po kroku

Schemat jest zawsze taki sam, niezależnie od zadania:

1. Ustaw wszystkie dane rosnąco (od najmniejszej do największej). Powtarzające się wartości wypisuj tyle razy, ile występują.
2. Policz, ile jest danych - to twoje $n$.
3. Sprawdź, czy $n$ jest parzyste czy nieparzyste.
4. Dla nieparzystego $n$ weź wyraz na pozycji $\frac{n+1}{2}$.
5. Dla parzystego $n$ weź dwa środkowe wyrazy i policz ich średnią.

Tyle. Cały trik maturalny to nie pomylić się w punkcie pierwszym i nie zapomnieć o uśrednianiu przy parzystej liczbie danych.

Dominanta (moda) - definicja

Dominanta, zwana też modą, to wartość, która w zestawie danych występuje najczęściej. Oznaczamy ją symbolem $D$ (lub $M_o$).

Trzy rzeczy, które musisz wiedzieć o dominancie:

Po pierwsze, dominanta to wartość, a nie to, ile razy ta wartość wystąpiła. Jeśli liczba 7 pojawia się najczęściej, to dominanta wynosi 7, a nie tyle, ile razy 7 się powtórzyło.

Po drugie, dominanta może nie istnieć. Gdy każda wartość występuje tyle samo razy (na przykład każda po jednym razie), zestaw nie ma dominanty.

Po trzecie, dominant może być kilka. Jeśli dwie różne wartości występują najczęściej i tyle samo razy, obie są dominantami.

Do dominanty nie trzeba porządkować danych - wystarczy policzyć, która wartość powtarza się najwięcej razy. Ale i tak warto uporządkować, bo zwykle w tym samym zadaniu liczysz też medianę.

Przykład 1: mediana przy nieparzystej liczbie danych

Dane: $7, 2, 9, 5, 3$. Oblicz medianę.

Krok 1 - porządkujemy rosnąco: $2, 3, 5, 7, 9$.

Krok 2 - liczymy dane: $n = 5$ (nieparzyste).

Krok 3 - pozycja środkowa: $\frac{n+1}{2} = \frac{5+1}{2} = 3$.

Krok 4 - bierzemy trzeci wyraz: to liczba $5$.

Mediana wynosi $M_e = 5$. Zwróć uwagę, że gdybyśmy nie uporządkowali danych, trzeci wyraz to byłoby $9$ - i błąd gotowy.

Przykład 2: mediana przy parzystej liczbie danych

Dane: $4, 8, 1, 6$. Oblicz medianę.

Krok 1 - porządkujemy: $1, 4, 6, 8$.

Krok 2 - liczymy: $n = 4$ (parzyste).

Krok 3 - środkowe pozycje to $\frac{4}{2} = 2$ oraz $\frac{4}{2}+1 = 3$, czyli wyrazy $4$ i $6$.

Krok 4 - uśredniamy:

$$M_e = \frac{4 + 6}{2} = 5.$$

Mediana wynosi $5$. Zauważ, że mediana wcale nie musi być jedną z danych liczb - tutaj $5$ nie ma w zestawie, a to poprawny wynik.

Przykład 3: mediana i dominanta razem

Wyniki klasówki (w punktach): $3, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9$. Wyznacz medianę i dominantę.

Dane są już uporządkowane. Liczymy: $n = 8$ (parzyste).

Środkowe pozycje to $4$ i $5$, czyli wyrazy $5$ oraz $7$. Stąd:

$$M_e = \frac{5 + 7}{2} = 6.$$

Dominanta: liczba $5$ występuje trzy razy, czyli najczęściej. Zatem $D = 5$.

Widzisz tu rzecz, którą maturzyści często mylą: mediana wynosi $6$, a dominanta $5$. To są dwie różne liczby i tak ma być. Mediana mówi o środku, dominanta o tym, co najczęstsze.

Mediana i dominanta z tabeli - szereg rozdzielczy

Na maturze dane często podane są w tabeli częstości: w jednym wierszu wartości, w drugim ile razy każda wystąpiła (liczebność). Nie musisz wtedy wypisywać wszystkich liczb po kolei - liczysz sprytniej, korzystając z częstości skumulowanych.

Dominanta z tabeli to wartość, przy której liczebność jest największa. Po prostu patrzysz, gdzie w wierszu liczebności stoi największa liczba.

Mediana z tabeli: najpierw policz łączną liczbę danych $n$. Potem ustal, na której pozycji (lub których dwóch pozycjach) leży środek. Następnie dodawaj liczebności od lewej (to właśnie częstość skumulowana), aż dojdziesz do pozycji środka.

Przykład 4: mediana i dominanta w szeregu rozdzielczym

Oceny z kartkówki w klasie zebrano w tabeli:

Wyznacz medianę i dominantę ocen.

Łączna liczba uczniów: $n = 3 + 5 + 8 + 4 = 20$ (parzyste).

Dominanta: największa liczebność to $8$, przy ocenie $4$. Zatem $D = 4$.

Mediana: skoro $n = 20$, środek leży między pozycją $10$ a $11$. Liczymy częstości skumulowane:

Pozycja $10$ i $11$ mieszczą się w przedziale ocen $4$ (pozycje 9 do 16). Oba środkowe wyrazy to $4$, więc:

$$M_e = \frac{4 + 4}{2} = 4.$$

Mediana ocen wynosi $4$, dominanta też $4$. Dla porównania średnia to:

$$\bar{x} = \frac{2\cdot 3 + 3\cdot 5 + 4\cdot 8 + 5\cdot 4}{20} = \frac{6 + 15 + 32 + 20}{20} = \frac{73}{20} = 3{,}65.$$

Trzy różne miary, trzy różne (lub czasem równe) liczby. Jeśli chcesz dokładnie przećwiczyć średnią z tabeli, w tym średnią ważoną, zobacz wpis jak obliczyć średnią ważoną.

Przykład 5: zadanie z parametrem (typ maturalny)

W pewnym zestawie liczb $3, 5, x, 11, 15$ (zapisanych rosnąco) mediana wynosi $9$. Wyznacz $x$.

Liczba danych: $n = 5$ (nieparzyste), więc mediana to wyraz środkowy na pozycji $\frac{5+1}{2} = 3$. Trzecim wyrazem jest właśnie $x$. Skoro mediana wynosi $9$, to:

$$x = 9.$$

Sprawdzamy warunek uporządkowania: $5 < 9 < 11$ - zgadza się, zestaw jest rosnący. Odpowiedź: $x = 9$.

Takie zadania z parametrem to klasyk - sztuka polega na tym, by najpierw ustalić, która pozycja jest środkowa, a dopiero potem ułożyć równanie. Więcej o układaniu równań z jedną niewiadomą znajdziesz w naszych zadaniach z działu Statystyka.

Przykład 6: większy szereg rozdzielczy z nieparzystą liczbą danych

W klasie zapytano uczniów, ile mają rodzeństwa. Wyniki zebrano w tabeli:

Wyznacz medianę i dominantę.

Łączna liczba uczniów: $n = 4 + 9 + 5 + 1 = 19$ (nieparzyste). Pozycja środkowa: $\frac{19+1}{2} = 10$.

Częstości skumulowane:

Pozycja $10$ mieści się w wartości $1$ (pozycje 5 do 13), więc $M_e = 1$.

Dominanta: największa liczebność to $9$, przy wartości $1$, zatem $D = 1$. Dla porównania średnia:

$$\bar{x} = \frac{0\cdot 4 + 1\cdot 9 + 2\cdot 5 + 3\cdot 1}{19} = \frac{22}{19} \approx 1{,}16.$$

Trik: przy nieparzystym $n$ szukasz jednej pozycji, więc nie usredniasz - po prostu odczytujesz wartość, w której tej pozycji mieści się ze skumulowanej liczebności.

Mediana a średnia - przykład z wartością odstającą

Zobacz, dlaczego mediana bywa uczciwsza niż średnia. Weźmy miesięczne wynagrodzenia (w złotych) pięciu osób:

$$2000,\ 2200,\ 2500,\ 2800,\ 30000.$$

Mediana to wyraz środkowy (pozycja 3), czyli $M_e = 2500$. A średnia:

$$\bar{x} = \frac{2000 + 2200 + 2500 + 2800 + 30000}{5} = \frac{39500}{5} = 7900.$$

Średnia wynosi $7900$ zł, choć cztery z pięciu osób zarabiają poniżej $2800$ zł. Jedna duża wartość (te $30000$) wywindowała średnią. Mediana $2500$ zł lepiej oddaje typowy zarobek, bo patrzy tylko na środek i nie reaguje na wartości odstające. To ważna intuicja, którą warto rozumieć, a nie tylko klepać wzór.

Typowe pułapki i błędy

Liczenie mediany bez uporządkowania danych. To błąd numer jeden. Mediana ma sens tylko dla danych ustawionych rosnąco. Zawsze najpierw sortuj.

Mylenie pozycji z wartością. Wzór $\frac{n+1}{2}$ daje numer pozycji środkowego wyrazu, a nie samą medianę. Po obliczeniu pozycji musisz jeszcze odczytać, jaka wartość na niej stoi.

Zapominanie o uśrednianiu przy parzystej liczbie danych. Gdy $n$ jest parzyste, mediana to średnia dwóch środkowych liczb, a nie jedna z nich.

Podawanie liczebności zamiast dominanty. Dominanta to wartość występująca najczęściej, a nie to, ile razy wystąpiła. Jeśli ocena $4$ pojawiła się 8 razy, dominanta wynosi $4$, a nie $8$.

Twierdzenie, że dominanta zawsze istnieje. Gdy wszystkie wartości występują po tyle samo razy, dominanty nie ma. Gdy dwie wartości remisują na szczycie, dominant jest kilka.

Pomijanie powtórzeń przy sortowaniu. Jeśli liczba powtarza się trzy razy, w uporządkowanym ciągu zapisujesz ją trzy razy. Inaczej źle policzysz $n$ i przesuniesz środek.

Mediana, średnia i odchylenie - jak to się łączy

Mediana i dominanta to część większej rodziny miar statystycznych. Obok nich na maturze pojawia się średnia arytmetyczna oraz odchylenie standardowe. Warto je znać razem, bo zadania często proszą o kilka z nich naraz.

Jeśli mediana różni się mocno od średniej, to znak, że w danych są wartości nietypowe (bardzo duże lub bardzo małe), które ciągną średnią w swoją stronę. Mediana jest na takie wartości odporna, bo patrzy tylko na środek. To właśnie dlatego o zarobkach często mówi się medianą, a nie średnią.

Gdy już ogarniesz medianę i dominantę, naturalnym kolejnym krokiem jest odchylenie standardowe i wariancja - to one mówią, jak bardzo dane są rozrzucone wokół średniej. Cały zestaw miar znajdziesz też w strategicznym wpisie średnia, mediana, dominanta - zadania.

A jeśli interesują cię zupełnie inne, ale równie pewne punkty z części "liczby i zbiory", zobacz nasz wpis działania na przedziałach liczbowych - tam tłumaczymy sumę, część wspólną i różnicę przedziałów krok po kroku.

Checklista - co musisz umieć

Sprawdź się przed maturą. Powinieneś umieć bez zastanowienia:

Jak to wszystko masz w małym palcu, mediana i dominanta na maturze to dla ciebie darmowe punkty. Wejdź do działu Statystyka i przećwicz to na prawdziwych arkuszach CKE.