Funkcja kwadratowa f, której miejscami zerowymi są liczby -2 i 4, dla argumentu 1 przyjmuje wartość 3. Uzasadnij, że wykres funkcji f ma dwa punkty wspólne z prostą y=2.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że wykres ma dwa punkty wspólne z prostą y=2, bo Δ=12>0
Wyznacza się wzór funkcji kwadratowej, a następnie wykażę, że równanie f(x) = 2 ma dwa różne rozwiązania.
## Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji
Skoro miejscami zerowymi są -2 i 4, funkcję można zapisać w postaci iloczynowej:
f(x) = a(x + 2)(x - 4)
gdzie a ≠ 0.
## Krok 2: Wyznaczenie współczynnika a
Korzysta się z warunku f(1) = 3:
f(1) = a(1 + 2)(1 - 4) = 3
a · 3 · (-3) = 3
-9a = 3
a = -1/3
Zatem:
f(x) = -1/3(x + 2)(x - 4)
## Krok 3: Rozwinięcie wzoru funkcji
f(x) = -1/3(x² - 4x + 2x - 8)
f(x) = -1/3(x² - 2x - 8)
f(x) = -1/3 x² + 2/3 x + 8/3
## Krok 4: Analiza równania f(x) = 2
Wykres funkcji f ma punkty wspólne z prostą y = 2, gdy równanie f(x) = 2 ma rozwiązania:
-1/3 x² + 2/3 x + 8/3 = 2
-1/3 x² + 2/3 x + 8/3 - 2 = 0
-1/3 x² + 2/3 x + 2/3 = 0
Mnoży się przez -3:
x² - 2x - 2 = 0
## Krok 5: Obliczenie wyróżnika
Δ= (-2)² - 4 · 1 · (-2) = 4 + 8 = 12
Ponieważ Δ= 12 > 0, równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.
## Wniosek
Wykres funkcji f ma dokładnie dwa punkty wspólne z prostą y = 2, ponieważ równanie f(x) = 2 ma wyróżnik dodatni (Δ= 12 > 0), co oznacza dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.