Wykres funkcji kwadratowej f przecina oś Ox w punktach x=1 oraz x=3 i przechodzi przez punkt (0,-3). Wykres ten przesunięto i otrzymano wykres funkcji kwadratowej g(x)=f(x-p). Wierzchołek funkcji g leży na osi Oy. Wyznacz wzór funkcji g.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: g(x)=-x²+1
Punktem wyjścia jest wyznaczenie wzoru funkcji f.
## Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji f
Ponieważ wykres funkcji f przecina oś Ox w punktach x=1 i x=3, to:
f(x) = a(x-1)(x-3)
gdzie a ≠ 0.
## Krok 2: Wyznaczenie współczynnika a
Funkcja przechodzi przez punkt (0,-3), więc f(0) = -3:
f(0) = a(0-1)(0-3) = a · (-1) · (-3) = 3a
3a = -3
a = -1
Zatem:
f(x) = -(x-1)(x-3) = -(x² - 4x + 3) = -x² + 4x - 3
## Krok 3: Wyznaczenie wierzchołka funkcji f
Przekształca się do postaci kanonicznej:
f(x) = -x² + 4x - 3 = -(x² - 4x) - 3 = -(x² - 4x + 4 - 4) - 3
f(x) = -(x-2)² + 4 - 3 = -(x-2)² + 1
Wierzchołek funkcji f to punkt W_f = (2, 1).
## Krok 4: Analiza przesunięcia
Funkcja g(x) = f(x-p) powstaje przez przesunięcie wykresu f o wektor [p, 0].
Wierzchołek funkcji g to:
W_g = (2+p, 1)
## Krok 5: Warunek na wierzchołek funkcji g
Wierzchołek funkcji g leży na osi Oy, więc jego pierwsza współrzędna wynosi 0:
2 + p = 0
p = -2
## Krok 6: Wyznaczenie wzoru funkcji g
g(x) = f(x-(-2)) = f(x+2)
Podstawia się do wzoru f:
g(x) = f(x+2) = -((x+2)-2)² + 1 = -x² + 1
## Weryfikacja
- Wierzchołek g: W_g = (0, 1) ✓ (leży na osi Oy) - g(x) = -x² + 1 ✓
Odpowiedź: g(x) = -x² + 1
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.