Dany jest wielomian W(x)=3x³+mx²+3x-2 gdzie m jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci iloczynowej: W(x)=(x+2)Q(x) gdzie Q(x) jest pewnym trójmianem kwadratowym. Wyznacz wielomian Q(x) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu W(x).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Q(x)=3x²+2x-1, x₁=-2, x₂=-1, x₃=1/3
Skoro W(x) = (x+2)Q(x), to x = -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x).
## Krok 1: Znajdowanie parametru m
Podstawia się x = -2 do wielomianu W(x):
W(-2) = 3(-2)³ + m(-2)² + 3(-2) - 2 = 0
3 · (-8) + m · 4 - 6 - 2 = 0
-24 + 4m - 8 = 0
4m = 32
m = 8
Zatem W(x) = 3x³ + 8x² + 3x - 2.
## Krok 2: Wyznaczanie wielomianu Q(x)
Skoro Q(x) jest trójmianem kwadratowym, zapisuje się: Q(x) = ax² + bx + c
Wykonuję dzielenie wielomianu W(x) przez (x+2):
W(x) = (x+2)(ax² + bx + c)
Mnoży się prawą stronę: (x+2)(ax² + bx + c) = ax³ + bx² + cx + 2ax² + 2bx + 2c
= ax³ + (b + 2a)x² + (c + 2b)x + 2c
Porównuje się współczynniki z W(x) = 3x³ + 8x² + 3x - 2:
- przy x³: a = 3 - przy x²: b + 2a = 8, więc b + 6 = 8, zatem b = 2 - przy x¹: c + 2b = 3, więc c + 4 = 3, zatem c = -1 - wyraz wolny: 2c = -2 ✓ (zgadza się)
Stąd: Q(x) = 3x² + 2x - 1
## Krok 3: Znajdowanie wszystkich pierwiastków
Zachodzi: W(x) = (x+2)(3x² + 2x - 1)
Pierwiastki to: - z czynnika (x+2): x₁ = -2 - z czynnika Q(x) = 3x² + 2x - 1: rozwiązuje się równanie kwadratowe
3x² + 2x - 1 = 0
Δ= 4 - 4 · 3 · (-1) = 4 + 12 = 16
x = (-2 ± √(16))/6 = (-2 ± 4)/6
x₂ = (-2 + 4)/6 = 2/6 = 1/3
x₃ = (-2 - 4)/6 = -6/6 = -1
## Odpowiedź:
Q(x) = 3x² + 2x - 1
Pierwiastki rzeczywiste wielomianu W(x): x₁ = -2, x₂ = -1, x₃ = 1/3
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.