Rozwiąż równanie (x-1)⁴-5(x-1)²+6=0
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=1+√(2) x=1-√(2) x=1+√(3) x=1-√(3),
Wprowadza się podstawienie, aby uprościć równanie.
Niech t = (x-1)², gdzie t ≥ 0.
Wtedy (x-1)⁴ = [(x-1)²]² = t².
Podstawia się do równania: t² - 5t + 6 = 0
Rozwiązuje się równanie kwadratowe:
Wyznacza się deltę: Δ= (-5)² - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1
Oblicza się pierwiastki: t₁ = (5-1)/2 = 4/2 = 2
t₂ = (5+1)/2 = 6/2 = 3
Oba pierwiastki są dodatnie, więc spełniają warunek t ≥ 0.
Powracam do zmiennej x:
Dla t₁ = 2: (x-1)² = 2 x - 1 = ± √(2) x = 1 ± √(2)
Otrzymuje się: x = 1 + √(2) lub x = 1 - √(2)
Dla t₂ = 3: (x-1)² = 3 x - 1 = ± √(3) x = 1 ± √(3)
Otrzymuje się: x = 1 + √(3) lub x = 1 - √(3)
Odpowiedź: x = 1 + √(2) x = 1 - √(2) x = 1 + √(3) x = 1 - √(3)
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.