Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Ciąg (a_n) określony wzorem a_n = n² - n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 jest
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A3
Badamy ciąg a_n = n² - n dla n ≥ 1.
## Krok 1: Obliczenie pierwszych wyrazów
a₁ = 1² - 1 = 0 a₂ = 2² - 2 = 4 - 2 = 2 a₃ = 3² - 3 = 9 - 3 = 6 a₄ = 4² - 4 = 16 - 4 = 12
## Krok 2: Sprawdzenie monotoniczności
Badamy różnicę a_(n+1) - a_n:
a_(n+1) - a_n = [(n+1)² - (n+1)] - [n² - n]
= n² + 2n + 1 - n - 1 - n² + n
= 2n
Ponieważ n ≥ 1, to 2n ≥ 2 > 0.
Zatem a_(n+1) - a_n > 0 dla każdego n ≥ 1, co oznacza, że a_(n+1) > a_n.
## Krok 3: Wnioskowanie
Ciąg jest rosnący (każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego).
## Krok 4: Uzasadnienie (sprawdzenie wariantu 3)
Różnica kolejnych wyrazów to: a_(n+1) - a_n = 2n
Dla n = 1: różnica wynosi 2 · 1 = 2 Dla n = 2: różnica wynosi 2 · 2 = 4 Dla n = 3: różnica wynosi 2 · 3 = 6
Różnice te nie są stałe (rosną wraz z n), więc ciąg nie jest arytmetyczny.
Odpowiedź: A3
Ciąg jest rosnący, ponieważ różnica a_(n+1) - a_n = 2n > 0, ale nie jest arytmetyczny, bo różnica kolejnych wyrazów nie jest stała.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.