Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla liczb naturalnych n ≥ 1, o wyrazach dodatnich. Jeśli a₂+a₉=a₄+a_k, to k jest równe
Odpowiedzi do wyboru
- A.8
- B.7
- C.6
- D.5
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1. Rozpisanie poszczególnych wyrazów ciągu.
Rozpiszmy drugi, dziewiąty oraz czwarty wyraz ciągu korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli a_n=a₁+(n-1)r. Otrzymamy wtedy, że:
a₂=a₁+r a₉=a₁+8r a₄=a₁+3r
Krok 2. Podstawienie rozpisanych wyrazów do wyrażenia z treści zadania.
Podstawiając teraz wyznaczone przed chwilą wyrazy do wyrażenia z treści zadania otrzymamy:
a₂+a₉=a₄+a_k a₁+r+a₁+8r=a₁+3r+a_k 2a₁+9r=a₁+3r+a_k a_k=a₁+6r
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu wiemy, że wartość a₁+6r=a₇, więc wychodzi nam, że a_k=a₇. To oznacza, że a_k jest siódmym wyrazem naszego ciągu, czyli k=7.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.