Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Tangens kąta, jaki odcinek PH tworzy z płaszczyzną ABCD, jest równy
Odpowiedzi do wyboru
- A.√(2)/2
- B.1/2
- C.1
- D.√(2)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W sześcianie wszystkie krawędzie mają jednakową długość, oznaczmy ją jako a. Dodatkowo zaznaczmy interesujący nas kąt, czyli kąt między odcinkiem PH i płaszczyzną podstawy:
Aby obliczyć wartość tangensa naszego kąta będziemy potrzebować długości dwóch przyprostokątnych trójkąta DPH. Wiemy już, że |DH|=a, musimy jeszcze wyznaczyć długość odcinka DP.
Krok 2. Obliczenie długości odcinka DP.
Odcinek DP to połowa przekątnej kwadratu znajdującego się w podstawie. Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku a, to jego cała przekątna ma długość a√(2). Nasz odcinek DP jest połową tej długości, czyli:
|DP|=1/2 a√(2)=a√(2)/2
Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.
Znamy długości dwóch przyprostokątnych, więc jesteśmy w stanie wyznaczyć poszukiwaną wartość tangensa naszego kąta:
tgα=|DH|/|DP| tgα=a/(a√(2)/2) tgα=a:a√(2)/2 tgα=a · 2/a√(2) tgα=2/√(2)
Usuwając niewymierność z mianownika otrzymamy:
tgα=2/√(2) tgα=2 · √(2)/(√(2) · √(2)) tgα=2√(2)/2=√(2)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.