Wykaż, że dla każdej liczby a > 0 i dla każdej liczby b > 0 prawdziwa jest nierówność 1/a+1/b ≥ 4/(a+b)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEWiemy, że a oraz b są liczbami dodatnimi, zatem mnożąc lub dzieląc tę nierówność przez a oraz b nie ma obaw, że będziemy mnożyć/dzielić przez liczbę ujemną (co wymuszałoby na nas zmianę znaku nierówności).
Mnożąc to równanie przez a oraz b (możemy to dla pewności zrobić powoli, najpierw mnożąc przez a, potem przez b) otrzymamy:
1/a+1/b ≥ 4/(a+b) / · a 1+1 · a/b ≥ 4a/(a+b) / · b b+a ≥ 4ab/(a+b) a+b ≥ 4ab/(a+b) / · (a+b) (a+b) · (a+b) ≥ 4ab a²+2ab+b² ≥ 4ab a²-2ab+b² ≥ 0 (a-b)² ≥ 0
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.