Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Krawędź boczna DS jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek). Pole ściany BCS tego ostrosłupa jest równe
Odpowiedzi do wyboru
- A.20
- B.10
- C.16
- D.12
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1. Dostrzeżenie, że trójkąt BCS jest prostokątny.
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie tego, iż trójkąt BCS jest prostokątny (gdzie |∢BCS|=90°. Skąd to wiemy, skoro z rysunku takiej informacji nie możemy odczytać? Obliczmy długości poszczególnych boków tego trójkąta.
Długość boku CS:
Spójrzmy na trójkąt prostokątny DCS. Dolna przyprostokątna ma długość |DC|=4, boczna przyprostokątna ma długość |DS|=3, zatem z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
4²+3²=|CS|² 16+9=|CS|² |CS|²=25 |CS|=5 |CS|=-5
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W związku z tym |CS|=5.
Długość boku BS:
Spójrzmy na trójkąt BDS. Dolna przyprostokątna to będzie przekątna naszego kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli |BD|=4√(2). Boczna przyprostokątna ma długość |DS|=3. W związku z tym:
3²+(4√(2))²=|BS|² 9+16 · 2=|BS|² 9+32=|BS|² |BS|²=41 |BS|=√(41) |BS|=-√(41)
Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam |BS|=√(41).
W tym momencie znamy długości trzech boków naszego trójkąta BCS:
|BC|=4 |CS|=5 |BS|=√(41)
Aby udowodnić, że jest to trójkąt prostokątny, skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa. Boki BC oraz CS to przyprostokątne, natomiast BS to przeciwprostokątna naszego trójkąta. W związku z tym:
|BC|²+|CS|²=|BS|² 4²+5²=(√(41))² 16+25=41 41=41 L=P
Skoro lewa strona równania jest równa prawej, to możemy być pewni, że trójkąt BCS jest trójkątem prostokątnym.
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta BCS.
Skoro jest to trójkąt prostokątny i znamy miary przyprostokątnych tego trójkąta, to obliczenie pola powierzchni jest już tylko formalnością:
P=1/2 ah P=1/2 · 4 · 5 P=2 · 5 P=10
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.