Na okręgu o środku w punkcie O wybrano trzy punkty A, B, C tak, że, |∢AOB|=70° , |∢OAC|=25° . Cięciwa AC przecina promień OB (zobacz rysunek). Wtedy miara ∢OBC jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.α=25°
- B.α=60°
- C.α=70°
- D.α=85°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Niech punkt przecięcia się cięciwy z odcinkiem AB to będzie punkt P (ułatwi nam to nazewnictwo kątów).
Krok 1. Wyznaczenie miary kąta APO.
Spójrzmy na trójkąt OAP. Znamy miary dwóch kątów tego trójkąta, zatem jesteśmy w stanie wyznaczyć miarę także trzeciego kąta:
|∢APO|=180°-25°-70°=85°
Krok 2. Wyznaczenie miary kąta BPC.
Kąt BPC jest kątem wierzchołkowym z kątem APO, a z własności takich kątów wiemy, że mają jednakową miarę, zatem:
|∢BPC|=|∢APO|=85°
Krok 3. Wyznaczenie miary kąta ACB.
Kąt ACB to kąt wpisany, który jest oparty na tym samym łuku co znany nam kąt środkowy o mierze 70°. Z własności kątów wpisanych i środkowych, które są oparte na tym samym łuku, wiemy że miara kąta wpisanego musi być dwukrotnie mniejsza od miary kąta środkowego, zatem:
|∢ACB|=70°:2=35°
Krok 4. Wyznaczenie miary kąta PBC.
Spójrzmy teraz na trójkąt PBC. Znamy miary dwóch kątów w tym trójkącie, a jedyną niewiadomą jest poszukiwana przez nas miara kąta PBC. Skoro suma kątów w trójkącie jest równa 180°, to:
|∢PBC|=180°-85°-35°=60°
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.