W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek AB o końcach w punktach A=(7,4), B=(11,12). Punkt S leży wewnątrz odcinka AB oraz |AS|=3 · |BS|. Wówczas
Odpowiedzi do wyboru
- A.S=(8,6)
- B.S=(9,8)
- C.S=(10,10)
- D.S=(13,16)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Do tego zadania możemy podejść na różne sposoby, a w przypadku zadań zamkniętych będziemy w stanie odpowiedzieć na to pytanie nawet korzystając z dobrego rysunku pomocniczego, bo już po rysunku widzimy, że S=(10,10). Chcąc jednak podejść do tego zadania nieco bardziej matematycznie, to powinniśmy wyznaczyć sobie środek odcinka AB (czyli wyznaczyć współrzędne punktu P), a następnie znając już współrzędne punktu P będziemy mogli wyznaczyć środek odcinka PB, czyli współrzędne punktu S. Wtedy właśnie otrzymamy sytuację w której |AS|=3 · |BS|.
I ten sposób z wyznaczaniem środków odcinków jest najlepszy, ale... tak prawdę mówiąc, to nie musimy obliczać wszystkich współrzędnych. Patrząc się na odpowiedzi widzimy, że w każdej z nich jest inna współrzędna iksowa. W związku z tym obliczając współrzędne punktów P oraz S moglibyśmy się ograniczyć jedynie do wyznaczenia współrzędnej iksowej.
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu P.
Dla treningu wyznaczmy sobie pełne współrzędne naszego punktu P, który jest środkiem odcinka AB. Skorzystamy tutaj ze wzoru:
P=((x_A+x_B)/2;(y_A+y_B)/2)
Podstawiając współrzędne znanych nam punktów A oraz B otrzymamy:
P=((7+11)/2;(4+12)/2) P=(18/2;16/2) P=(9;8)
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu S.
Punkt S jest środkiem odcinka PB, zatem korzystając z tego samego wzoru co powyżej otrzymamy:
S=((x_P+x_B)/2;(y_P+y_B)/2) S=((9+11)/2;(8+12)/2) S=(20/2;20/2) S=(10;10)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.