Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy 3:4. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 60° . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 2160√(3)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Wiemy, że w podstawie ostrosłupa jest prostokąt, którego stosunek boków jest równy 3:4. Możemy więc powiedzieć, że krótszy bok tego prostokąta ma długość 3x, natomiast dłuższy ma długość 4x. Wiemy też, że pole tego prostokąta jest równe 432, a skoro tak, to możemy ułożyć następujące równanie:
3x · 4x=432 12x²=432 x²=36 x=6
Wyszło nam, że x=6, a skoro nasze krawędzie podstawy mają długość odpowiednio 3x oraz 4x to otrzymamy:
Krótsza krawędź podstawy: 3x=3 · 6=18
Dłuższa krawędź podstawy: 4x=4 · 6=24
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Przekątna AC naszego prostokąta znajdującego się w podstawie tworzy wraz z krawędziami podstawy trójkąt prostokątny. Przed chwilą obliczyliśmy długości krawędzi tej podstawy, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa mamy:
18²+24²=|AC|² 324+576=|AC|² |AC|²=900 |AC|=30 |AC|=-30
Długość przekątnej nie może być ujemna, zatem zostaje nam |AC|=30.
Krok 3. Obliczenie długości odcinka AO.
Znamy już długość przekątnej podstawy, ale nam do dalszych obliczeń przyda się tak naprawdę znajomość długości odcinka AO, bo to będzie dolna przyprostokątna naszego trójkąta prostokątnego AOS. Odcinek AO jest dwa razy krótszy od całej przekątnej AC, zatem:
|AO|=30:2 |AO|=15
Krok 4. Obliczenie długości odcinka SO, czyli wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na nasz trójkąt AOS. Znamy miarę kąta SAO, znamy długość dolnej przyprostokątnej, a szukamy wysokości ostrosłupa (czyli przyprostokątnej |SO| tego trójkąta), bo jest ona nam potrzebna do wyliczenia objętości. W związku z tym do wyliczenia długości odcinka SO możemy wykorzystać tangensa:
tg60°=|SO|/|AO| tg60°=|SO|/15 √(3)=|SO|/15 |SO|=15√(3)
To oznacza, że wysokość naszego ostrosłupa to H=15√(3).
Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy pole powierzchni P_p=432, znamy też wysokość ostrosłupa H=15√(3), zatem korzystając ze wzoru na objętość otrzymamy:
V=1/3 P_p · H V=1/3 · 432 · 15√(3) V=2160√(3)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.