Stereometria na maturze - wzory na objętość i pole powierzchni brył z zadaniami

Stereometria na maturze - czego możesz się spodziewać

Stereometria, czyli geometria przestrzenna, to jeden z działów, który budzi u wielu uczniów niemały respekt. Na egzaminie maturalnym z matematyki zadania ze stereometrii pojawiają się regularnie - zarówno w zamkniętych (1 punkt), jak i w otwartych (nawet 5-6 punktów za pełne rozwiązanie).

Dobra wiadomość: stereometria na maturze jest przewidywalna. Masz do czynienia z kilkoma typami brył i zestawem wzorów, które wystarczy znać i umieć stosować. W tym artykule przeprowadzę Cię przez wszystkie kluczowe pojęcia i wzory.

Większość wzorów na objętość wynika z dwóch zasad:

• •graniastosłup i walec: pole podstawy razy wysokość, $V = P_p \cdot h$,
• •ostrosłup i stożek: jedna trzecia tego samego, $V = \frac{1}{3} P_p \cdot h$.

Kto pamięta te dwie zasady, nie pomyli wzorów: ostrosłup to zawsze jedna trzecia graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.

---

Wzory na graniastosłupy

Graniastosłup to bryła, której podstawę stanowi wielokąt, a boczne ściany są prostokątami (graniastosłup prosty) lub równoległobokami (graniastosłup ukośny).

Graniastosłup prostokątny (prostopadłościan)

Jest to najczęściej spotykana bryła na maturze. Dla prostopadłościanu o wymiarach $a$, $b$, $c$:

Objętość:
$V = a \cdot b \cdot c$ Pole powierzchni całkowitej:
$P_c = 2(ab + bc + ac)$ Przekątna prostopadłościanu:
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Sześcian to szczególny przypadek: $a = b = c$, więc $V = a^3$ i $P_c = 6a^2$.

Graniastosłup prostokątny o podstawie trójkąta

Podstawa to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ i $b$, wysokość bryły to $h$.

$V = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot h$

Pole powierzchni dowolnego graniastosłupa prostego

$P_c = 2P_p + P_b$

Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem o bokach równych obwodowi podstawy i wysokości bryły, więc $P_b$ to obwód podstawy razy $h$.

---

Wzory na ostrosłupy

Ostrosłup to bryła o podstawie wielokątnej i trójkątnych ścianach bocznych zbiegających się w jednym wierzchołku (wierzchołku ostrosłupa).

Objętość każdego ostrosłupa:
$V = \frac{1}{3} \cdot P_{podstawy} \cdot h$

gdzie $P_{podstawy}$ to pole podstawy, a $h$ to wysokość ostrosłupa (prostopadła do podstawy).

Ostrosłup o podstawie kwadratu (ostrosłup prawidłowy czworokątny)

Podstawa to kwadrat o boku $a$, wysokość bryły $h$.

$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$ Pole powierzchni bocznej (4 jednakowe trójkąty):
$P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = 2al$

gdzie $l$ to apotema (wysokość ściany bocznej). Apotema: $l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

Pole całkowite:
$P_c = P_b + P_{podstawy} = 2al + a^2$

Dla każdego ostrosłupa prawidłowego pole boczne to połowa obwodu podstawy razy wysokość ściany bocznej $l$.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Podstawa to trójkąt równoboczny o boku $a$. Spodek wysokości ostrosłupa leży w środku podstawy, a jego odległość od wierzchołka podstawy to promień okręgu opisanego $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Z twierdzenia Pitagorasa, dla krawędzi bocznej $k$:

$h = \sqrt{k^2 - R^2} = \sqrt{k^2 - \frac{a^2}{3}}$

---

Wzory na walec

Walec to bryła obrotowa - powstaje z obrotu prostokąta wokół jednego z boków.

Dane: promień podstawy $r$, wysokość $h$.

Objętość:
$V = \pi r^2 h$ Pole powierzchni bocznej (rozwinięcie to prostokąt o bokach $2\pi r$ i $h$):
$P_b = 2\pi r h$ Pole powierzchni całkowitej:
$P_c = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$

---

Wzory na stożek

Stożek to bryła obrotowa - powstaje z obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych.

Dane: promień podstawy $r$, wysokość $h$, tworząca $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.

Objętość:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ Pole powierzchni bocznej:
$P_b = \pi r l$ Pole powierzchni całkowitej:
$P_c = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)$

---

Wzory na kulę

Kula to bryła obrotowa - punkt, odległość od środka nie przekracza $r$.

Objętość:
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ Pole powierzchni:
$P = 4\pi r^2$

---

Typowe zadania maturalne ze stereometrii

Zadanie 1 - Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $a = 6$ cm i krawędź boczną $k = 5$ cm. Oblicz objętość.

Rozwiązanie:
Najpierw wyznacz wysokość ostrosłupa. Połowa przekątnej podstawy:
$\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (krawędź boczna, połowa przekątnej, wysokość):
$h = \sqrt{k^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7}$ Objętość:
$V = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot \sqrt{7} = \frac{36\sqrt{7}}{3} = 12\sqrt{7} \approx 31{,}7 \text{ cm}^3$

Zadanie 2 - Walec wpisany w sześcian

Sześcian o krawędzi $a = 4$ cm. Walec jest wpisany w sześcian (obie podstawy walca są wpisanymi okręgami ścian sześcianu). Oblicz stosunek objętości walca do objętości sześcianu.

Rozwiązanie:
Promień walca: $r = \frac{a}{2} = 2$ cm, wysokość walca: $h = a = 4$ cm.
$V_{walca} = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi$
$V_{sześcianu} = 64$
$\frac{V_{walca}}{V_{sześcianu}} = \frac{16\pi}{64} = \frac{\pi}{4}$

Zadanie 3 - Stożek z koła

Z kółka kartonowego o promieniu $R = 10$ cm wycięto wycinek o kącie $\alpha = 144°$ i zwinięto go w stożek. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie:
Tworząca stożka: $l = R = 10$ cm.
Promień podstawy stożka - z proporcji długości łuków:
$2\pi r = \frac{144}{360} \cdot 2\pi R = \frac{2}{5} \cdot 2\pi \cdot 10 = 8\pi$
$r = 4 \text{ cm}$

Wysokość: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 2\sqrt{21} = \frac{32\pi\sqrt{21}}{3} \approx 153{,}7 \text{ cm}^3$

Zadania zamknięte za 1 punkt

Zadanie 4. Pole powierzchni bocznej walca o promieniu $5$ cm i wysokości $4$ cm jest równe: A. $20\pi$ cm², B. $40\pi$ cm², C. $50\pi$ cm², D. $100\pi$ cm².

$P_b = 2\pi r h = 2\pi \cdot 5 \cdot 4 = 40\pi$ cm². Pytanie dotyczy pola bocznego, więc pól podstaw nie dodajesz. Odpowiedź: B

Zadanie 5. Stożek ma promień podstawy $3$ cm i wysokość $4$ cm. Tworząca ma długość: A. $5$ cm, B. $7$ cm, C. $\sqrt{7}$ cm, D. $25$ cm.

Tworząca jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $r$ i $h$: $l = \sqrt{9 + 16} = 5$ cm. Odpowiedź: A

Zadanie 6. Graniastosłup prosty ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm, a jego wysokość to $10$ cm. Objętość jest równa: A. $60$ cm³, B. $120$ cm³, C. $30$ cm³, D. $40$ cm³.

$P_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ cm², więc $V = 6 \cdot 10 = 60$ cm³. Odpowiedź: A

---

Kąty i odległości w bryle - najczęstsze typy zadań

Zadania maturalne często polegają na znalezieniu:

• •kąta między krawędzią a podstawą - znajdź odpowiedni trójkąt prostokątny i użyj trygonometrii
• •kąta między ścianą a podstawą - potrzebujesz apotemy i wysokości bryły
• •odległości między punktami - twierdzenie Pitagorasa (czasem trzykrotnie)

Klucz to zawsze narysowanie rzutu i zaznaczenie szukanego trójkąta prostokątnego.

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy

Trójkąt prostokątny tworzą wysokość bryły $h$, odcinek od spodka wysokości do wierzchołka podstawy i krawędź boczna. Tangens kąta to iloraz wysokości przez ten odcinek. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odcinek jest połową przekątnej podstawy, $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, w trójkątnym promieniem $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy

Tu zamiast wierzchołka podstawy bierzesz środek jej boku. Odległość środka podstawy od środka boku wynosi $\frac{a}{2}$ dla kwadratu i $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ dla trójkąta równobocznego, a tangens kąta to wysokość bryły podzielona przez tę odległość.

Przykład: wysokość, objętość i kąt

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $8$ cm i krawędź boczną $\sqrt{41}$ cm. Oblicz wysokość, objętość i tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

Połowa przekątnej podstawy to $\frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$. Z twierdzenia Pitagorasa:
$h^2 = 41 - (4\sqrt{2})^2 = 41 - 32 = 9, \qquad h = 3 \text{ cm}$
$V = \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot 3 = 64 \text{ cm}^3$
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$

Sam kąt ma około $28°$.

---

Najczęstsze błędy

Wysokość pomylona z krawędzią boczną. Wysokość ostrosłupa jest prostopadła do podstawy (w ostrosłupie prawidłowym kończy się w środku podstawy), a krawędź boczna łączy wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy.

Zgubiona jedna trzecia. Objętość ostrosłupa i stożka to $\frac{1}{3} P_p \cdot h$. Bez dzielenia przez $3$ liczysz graniastosłup albo walec.

Tworząca pomylona z wysokością stożka. Tworząca jest przeciwprostokątną, więc zawsze $l > h$.

Rysunek całej bryły zamiast przekroju. Narysuj osobno trójkąt prostokątny, w którym liczysz. Przekrój jest płaski i łatwiej na nim zobaczyć dane.

---

Gdzie ćwiczyć stereometrię

Zadania ze stereometrii znajdziesz na SprawnaMatura.pl w dziale Stereometria. Są pogrupowane według typów brył i trudności - od prostych obliczeń objętości po zaawansowane zadania z kątami.

Przydatne będą też artykuły o planimetrii, bo wiele zadań ze stereometrii sprowadza się do obliczeń na przekrojach (trójkątach i czworokątach).

---

Podsumowanie wzorów

Naucz się tej tabeli na pamięć - to oszczędność czasu na egzaminie.

Następny krok Losuj kolejne zadanie