Stereometria na maturze - wzory na objętość i pole powierzchni brył z zadaniami

Stereometria na maturze - czego możesz się spodziewać

Stereometria, czyli geometria przestrzenna, to jeden z działów, który budzi u wielu uczniów niemały respekt. Na egzaminie maturalnym z matematyki zadania ze stereometrii pojawiają się regularnie - zarówno w zamkniętych (1 punkt), jak i w otwartych (nawet 5-6 punktów za pełne rozwiązanie).

Dobra wiadomość: stereometria na maturze jest przewidywalna. Masz do czynienia z kilkoma typami brył i zestawem wzorów, które wystarczy znać i umieć stosować. W tym artykule przeprowadzę Cię przez wszystkie kluczowe pojęcia i wzory.

---

Wzory na graniastosłupy

Graniastosłup to bryła, której podstawę stanowi wielokąt, a boczne ściany są prostokątami (graniastosłup prosty) lub równoległobokami (graniastosłup ukośny).

Graniastosłup prostokątny (prostopadłościan)

Jest to najczęściej spotykana bryła na maturze. Dla prostopadłościanu o wymiarach $a$, $b$, $c$:

Objętość:
$$V = a \cdot b \cdot c$$ Pole powierzchni całkowitej:
$$P_c = 2(ab + bc + ac)$$ Przekątna prostopadłościanu:
$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Sześcian to szczególny przypadek: $a = b = c$, więc $V = a^3$ i $P_c = 6a^2$.

Graniastosłup prostokątny o podstawie trójkąta

Podstawa to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ i $b$, wysokość bryły to $h$.

$$V = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot h$$

---

Wzory na ostrosłupy

Ostrosłup to bryła o podstawie wielokątnej i trójkątnych ścianach bocznych zbiegających się w jednym wierzchołku (wierzchołku ostrosłupa).

Objętość każdego ostrosłupa:
$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{podstawy} \cdot h$$

gdzie $P_{podstawy}$ to pole podstawy, a $h$ to wysokość ostrosłupa (prostopadła do podstawy).

Ostrosłup o podstawie kwadratu (ostrosłup prawidłowy czworokątny)

Podstawa to kwadrat o boku $a$, wysokość bryły $h$.

$$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$$ Pole powierzchni bocznej (4 jednakowe trójkąty):
$$P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = 2al$$

gdzie $l$ to apotema (wysokość ściany bocznej). Apotema: $l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

Pole całkowite:
$$P_c = P_b + P_{podstawy} = 2al + a^2$$

---

Wzory na walec

Walec to bryła obrotowa - powstaje z obrotu prostokąta wokół jednego z boków.

Dane: promień podstawy $r$, wysokość $h$.

Objętość:
$$V = \pi r^2 h$$ Pole powierzchni bocznej (rozwinięcie to prostokąt o bokach $2\pi r$ i $h$):
$$P_b = 2\pi r h$$ Pole powierzchni całkowitej:
$$P_c = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$$

---

Wzory na stożek

Stożek to bryła obrotowa - powstaje z obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych.

Dane: promień podstawy $r$, wysokość $h$, tworząca $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.

Objętość:
$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ Pole powierzchni bocznej:
$$P_b = \pi r l$$ Pole powierzchni całkowitej:
$$P_c = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)$$

---

Wzory na kulę

Kula to bryła obrotowa - punkt, odległość od środka nie przekracza $r$.

Objętość:
$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$ Pole powierzchni:
$$P = 4\pi r^2$$

---

Typowe zadania maturalne ze stereometrii

Zadanie 1 - Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $a = 6$ cm i krawędź boczną $k = 5$ cm. Oblicz objętość.

Rozwiązanie:
Najpierw wyznacz wysokość ostrosłupa. Połowa przekątnej podstawy:
$$\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$ Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (krawędź boczna, połowa przekątnej, wysokość):
$$h = \sqrt{k^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7}$$ Objętość:
$$V = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot \sqrt{7} = \frac{36\sqrt{7}}{3} = 12\sqrt{7} \approx 31{,}7 \text{ cm}^3$$

Zadanie 2 - Walec wpisany w sześcian

Sześcian o krawędzi $a = 4$ cm. Walec jest wpisany w sześcian (obie podstawy walca są wpisanymi okręgami ścian sześcianu). Oblicz stosunek objętości walca do objętości sześcianu.

Rozwiązanie:
Promień walca: $r = \frac{a}{2} = 2$ cm, wysokość walca: $h = a = 4$ cm.
$$V_{walca} = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi$$
$$V_{sześcianu} = 64$$
$$\frac{V_{walca}}{V_{sześcianu}} = \frac{16\pi}{64} = \frac{\pi}{4}$$

Zadanie 3 - Stożek z koła

Z kółka kartonowego o promieniu $R = 10$ cm wycięto wycinek o kącie $\alpha = 144°$ i zwinięto go w stożek. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie:
Tworząca stożka: $l = R = 10$ cm.
Promień podstawy stożka - z proporcji długości łuków:
$$2\pi r = \frac{144}{360} \cdot 2\pi R = \frac{2}{5} \cdot 2\pi \cdot 10 = 8\pi$$
$$r = 4 \text{ cm}$$

Wysokość: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 2\sqrt{21} = \frac{32\pi\sqrt{21}}{3} \approx 153{,}7 \text{ cm}^3$$

---

Kąty i odległości w bryle - najczęstsze typy zadań

Zadania maturalne często polegają na znalezieniu:

Klucz to zawsze narysowanie rzutu i zaznaczenie szukanego trójkąta prostokątnego.

---

Gdzie ćwiczyć stereometrię

Zadania ze stereometrii znajdziesz na SprawnaMatura.pl w dziale Stereometria. Są pogrupowane według typów brył i trudności - od prostych obliczeń objętości po zaawansowane zadania z kątami.

Przydatne będą też artykuły o planimetrii, bo wiele zadań ze stereometrii sprowadza się do obliczeń na przekrojach (trójkątach i czworokątach).

---

Podsumowanie wzorów

Naucz się tej tabeli na pamięć - to oszczędność czasu na egzaminie.