Jak obliczyć pole i objętość stożka - wzory, tworząca i zadania maturalne

Stożek to jedna z trzech brył obrotowych, które musisz umieć na maturze (obok walca i kuli). CKE pyta o niego regularnie, często w zadaniach, w których trzeba połączyć twierdzenie Pitagorasa z objętością albo rozpoznać stożek w przekroju bryły złożonej. Jeśli zakujesz tylko wzór na objętość i nie zrozumiesz relacji między promieniem, wysokością a tworzącą, utkniesz na pierwszym zadaniu.

Ten przewodnik daje ci kompletny zestaw wzorów, schemat rozwiązywania i 6 zadań krok po kroku. Po przeczytaniu stożek stanie się jednym z najprostszych tematów stereometrii.

Wzory podstawowe - objętość i pole powierzchni stożka

Stożek (prostokątny, bo tylko takie są na maturze) opisujesz trzema wielkościami:

Te trzy wielkości łączy twierdzenie Pitagorasa, bo w przekroju osiowym tworzą trójkąt prostokątny:

$$l^2 = r^2 + h^2$$

Stąd: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$, $h = \sqrt{l^2 - r^2}$, $r = \sqrt{l^2 - h^2}$. Zapamiętaj tę trójkę - bez niej nie zrobisz żadnego zadania o stożku.

Objętość stożka:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Jedna trzecia objętości walca o tej samej podstawie i wysokości. Łatwy sposób na zapamiętanie: stożek wlany do walca to dokładnie jedna trzecia.

Pole podstawy: to zwykłe koło, czyli $P_p = \pi r^2$.

Pole boczne (powierzchnia po rozwinięciu na płasko):

$$P_b = \pi r l$$

Pole powierzchni całkowitej to suma obu:

$$P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Wszystkie te wzory znajdziesz na karcie wzorów CKE, więc nie musisz ich kuć na pamięć. Musisz jednak umieć je szybko znaleźć i użyć bez zastanowienia.

Więcej o bryłach obrotowych znajdziesz w przewodniku stereometria na maturze i w powiązanych postach jak obliczyć objętość walca oraz objętość i pole powierzchni brył.

Przekrój osiowy stożka - trójkąt równoramienny

Przekrój osiowy to przecięcie stożka płaszczyzną przechodzącą przez jego oś. Dostajesz trójkąt równoramienny o:

Jeśli zadanie mówi "przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym", to znaczy, że $l = 2r$, czyli tworząca jest równa średnicy. Wtedy $h = r\sqrt{3}$ (wysokość trójkąta równobocznego o boku $2r$).

Jeśli "przekrój osiowy jest trójkątem prostokątnym" (prostokąt przy wierzchołku stożka), to kąt między tworzącymi wynosi $90°$. Wtedy $l\sqrt{2} = 2r$, czyli $l = r\sqrt{2}$, a stąd $h = r$.

Te dwa przypadki pojawiają się na maturze najczęściej. Rozpoznawanie ich to połowa sukcesu.

Kąty w stożku - rozwarcia i nachylenia

Dwa kąty, o które CKE pyta najczęściej:

Kąt nachylenia tworzącej do podstawy $\alpha$ - kąt między tworzącą a promieniem podstawy. Z trójkąta prostokątnego w przekroju:

$$\tan \alpha = \frac{h}{r}, \quad \sin \alpha = \frac{h}{l}, \quad \cos \alpha = \frac{r}{l}$$

Kąt rozwarcia stożka $2\alpha$ - kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym. To dwa razy kąt między tworzącą a osią (albo $180° - 2\alpha$ zależnie od definicji). Zawsze najpierw narysuj przekrój i zaznacz, o który kąt chodzi.

Przy wartościach sinusa, cosinusa i tangensa kątów warto mieć w głowie tabelkę z postu sinus, cosinus, tangens na maturze.

Zadanie 1 - objętość z promienia i wysokości

Oblicz objętość stożka, którego promień podstawy wynosi $3$ cm, a wysokość $5$ cm.

Rozwiązanie: Podstawiamy do wzoru:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 5 = 15\pi$$

Odpowiedź: $V = 15\pi$ cm$^3$.

Proste zadanie na rozgrzewkę. Uwaga - zostawiasz $\pi$ w wyniku, nie zamieniasz na $3{,}14$, chyba że zadanie wprost tego wymaga.

Zadanie 2 - tworząca z twierdzenia Pitagorasa

Stożek ma promień podstawy $4$ i wysokość $3$. Oblicz tworzącą i pole boczne.

Rozwiązanie: Tworząca z Pitagorasa:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Pole boczne:

$$P_b = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi$$

Odpowiedź: tworząca $l = 5$, pole boczne $P_b = 20\pi$.

Klasyczna trójka pitagorejska $3, 4, 5$. CKE lubi ten zestaw, bo liczby wychodzą okrągło.

Zadanie 3 - stożek o przekroju osiowym będącym trójkątem równobocznym

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu $9\sqrt{3}$. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie: Jeśli przekrój jest równoboczny, to $l = 2r$. Pole trójkąta równobocznego o boku $a$:

$$P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

Bok tego trójkąta to $2r$, więc:

$$\frac{(2r)^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$
$$\frac{4r^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$
$$r^2 \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$$
$$r^2 = 9 \Rightarrow r = 3$$

Wysokość stożka to wysokość trójkąta równobocznego o boku $2r = 6$:

$$h = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

Objętość:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\pi$$

Odpowiedź: $V = 9\sqrt{3}\pi$.

Typowe zadanie maturalne łączące stereometrię z planimetrią trójkąta równobocznego. Jeśli nie kojarzysz wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, zajrzyj do postu trójkąt 30, 60, 90 i 45, 45, 90.

Zadanie 4 - kąt nachylenia tworzącej do podstawy

Tworząca stożka ma długość $10$ cm, a kąt nachylenia tworzącej do podstawy wynosi $60°$. Oblicz pole całkowite.

Rozwiązanie: Z trójkąta prostokątnego w przekroju:

$$r = l \cos 60° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$$
$$h = l \sin 60° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

Wysokość nie jest tu potrzebna do pola, ale dobrze mieć. Pole całkowite:

$$P_c = \pi r (r + l) = \pi \cdot 5 \cdot (5 + 10) = 75\pi$$

Odpowiedź: $P_c = 75\pi$ cm$^2$.

Uwaga na częsty błąd: $\cos 60° = 1/2$ (nie $\sqrt{3}/2$). Pomyłkę z $\sin$ i $\cos$ popełnia co trzeci maturzysta.

Zadanie 5 - objętość z pola bocznego i promienia

Pole boczne stożka wynosi $65\pi$, a promień podstawy $5$. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie: Z wzoru na pole boczne wyliczamy tworzącą:

$$P_b = \pi r l \Rightarrow 65\pi = \pi \cdot 5 \cdot l \Rightarrow l = 13$$

Teraz wysokość z Pitagorasa:

$$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

Objętość:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$$

Odpowiedź: $V = 100\pi$.

Kolejna trójka pitagorejska $5, 12, 13$. Jeśli zobaczysz $5$ i $13$ w zadaniu, odruchowo myśl $12$.

Zadanie 6 - stożek wpisany w półkulę

Stożek ma wspólną podstawę z półkulą o promieniu $R$, a jego wierzchołek leży na powierzchni półkuli. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości półkuli.

Rozwiązanie: Wierzchołek stożka leży na półkuli dokładnie nad środkiem podstawy (bo to najwyższy punkt półkuli), czyli wysokość stożka równa jest promieniowi: $h = R$. Promień podstawy stożka to też $R$.

Objętość stożka:

$$V_{st} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^3$$

Objętość półkuli:

$$V_{pk} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi R^3$$

Stosunek:

$$\frac{V_{st}}{V_{pk}} = \frac{\frac{1}{3} \pi R^3}{\frac{2}{3} \pi R^3} = \frac{1}{2}$$

Odpowiedź: objętość stożka jest dwa razy mniejsza od objętości półkuli.

Zadanie typu "bryła wpisana w bryłę" to ulubione CKE na maturze rozszerzonej. Klucz: narysuj przekrój osiowy i szukaj trójkątów prostokątnych.

Typowe pułapki i błędy

Mylenie średnicy z promieniem. Zadanie podaje średnicę $d = 10$, a ty liczysz $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 100 \cdot h$ zamiast $\frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot h$. Pierwszy odruch po przeczytaniu: sprawdź, czy liczba to $r$ czy $d$.

Zapomnienie o $\frac{1}{3}$ w objętości. Wzór na objętość stożka i walca różni się tylko tym ułamkiem. Na ostatniej prostej maturzyści liczą bez $1/3$ i dostają zerówkę.

Błąd przy tworzącej. Tworząca to NIE wysokość. To przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $r$ i $h$. Zawsze używaj $l^2 = r^2 + h^2$, nie odwrotnie.

Zapomnienie o podstawie w polu całkowitym. $P_c = \pi r^2 + \pi r l$, a nie tylko $\pi r l$. Jeśli stożek jest "otwarty" (bez dna), zadanie musi to wyraźnie zaznaczyć.

Przekrój osiowy a poprzeczny. Osiowy idzie przez oś - to trójkąt. Poprzeczny idzie prostopadle do osi - to koło. CKE lubi zapytać o oba w jednym zadaniu.

Jednostki. Wysokość w cm, promień w dm - zawsze sprowadzaj do jednej jednostki przed podstawieniem do wzoru. Więcej o błędach rachunkowych w poście błędy rachunkowe na maturze.

Podsumowanie - co musisz umieć

Przed maturą upewnij się, że potrafisz bez zastanowienia:

Jeśli te sześć punktów masz opanowane, stożek na maturze to pewne punkty. Następny krok: przećwicz zadania na stronie stereometria - zadania i zrób arkusz matura próbna CKE marzec 2026 - tam jest świeże zadanie ze stożkiem.