Jak obliczyć kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa - schemat krok po kroku z zadaniami

Dlaczego ten kąt zawsze pojawia się na maturze

Kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy ostrosłupa to jedno z najczęstszych zadań ze stereometrii na maturze podstawowej i rozszerzonej. Pojawia się w co najmniej jednym arkuszu rocznie od 2015 roku, najczęściej za 3-5 punktów. Jeśli nauczysz się tego schematu, masz niemal darmowe punkty.

Problem w tym, że uczniowie często gubią się w geometrii przestrzennej. Nie widzą, gdzie ten kąt w ogóle jest, do jakiego trójkąta należy i jakie funkcje trygonometryczne wybrać. W tym poradniku rozbieram to krok po kroku: od definicji, przez rysunek, po konkretne zadania z rozwiązaniami.

Czym jest kąt między krawędzią a płaszczyzną

Zacznijmy od definicji, bo bez niej nic nie zrobisz poprawnie. Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt ostry, jaki ta prosta tworzy z własnym rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

Dla ostrosłupa prawidłowego wygląda to tak: bierzesz krawędź boczną (np. $SA$) i szukasz jej rzutu na podstawę. Rzutem jest odcinek $OA$, gdzie $O$ to spodek wysokości ostrosłupa (środek podstawy, jeśli ostrosłup jest prawidłowy). Kąt $\angle SAO$ to właśnie szukany kąt między krawędzią a podstawą.

Zapamiętaj ten schemat - działa zawsze dla ostrosłupów prawidłowych:

$\tan \alpha = \frac{H}{r}$

gdzie $H$ to wysokość ostrosłupa, a $r$ to odległość spodka wysokości od wierzchołka podstawy (czyli promień okręgu opisanego na podstawie).

Jak znaleźć trójkąt prostokątny - krok po kroku

Każde zadanie tego typu sprowadza się do znalezienia jednego trójkąta prostokątnego. Kluczowe kroki:

Krok 1. Narysuj ostrosłup i zaznacz spodek wysokości $O$ na podstawie. Dla ostrosłupa prawidłowego $O$ to środek okręgu opisanego na podstawie.

Krok 2. Połącz $O$ z wybranym wierzchołkiem podstawy (np. $A$). Odcinek $OA$ to rzut krawędzi $SA$ na płaszczyznę podstawy.

Krok 3. Zauważ, że trójkąt $SOA$ jest prostokątny z kątem prostym przy $O$. Kąt $\angle SAO = \alpha$ to szukany kąt.

Krok 4. Oblicz długość $OA$ na podstawie geometrii podstawy. To jest najczęstsze miejsce, w którym uczniowie się mylą, więc zapamiętaj gotowce:

• •Podstawa to kwadrat o boku $a$: $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (połowa przekątnej).
• •Podstawa to trójkąt równoboczny o boku $a$: $OA = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ (promień okręgu opisanego).
• •Podstawa to sześciokąt foremny o boku $a$: $OA = a$ (promień okręgu opisanego równy bokowi).

Krok 5. Użyj tangensa, sinusa albo cosinusa zależnie od tego, co jest dane:

$\tan \alpha = \frac{H}{OA}, \quad \cos \alpha = \frac{OA}{SA}, \quad \sin \alpha = \frac{H}{SA}$

Zadanie 1: ostrosłup prawidłowy czworokątny, podstawa kwadrat

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $a = 6$, a wysokość ostrosłupa $H = 4$. Oblicz miarę kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie. Podstawa to kwadrat o boku $6$, więc przekątna ma długość $6\sqrt{2}$. Spodek wysokości $O$ leży w środku przekątnej, więc:

$OA = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

Trójkąt $SOA$ jest prostokątny z przyprostokątnymi $OA = 3\sqrt{2}$ i $SO = H = 4$. Tangens szukanego kąta:

$\tan \alpha = \frac{H}{OA} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Stąd $\alpha = \mathrm{arctg}\, \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 43{,}3^\circ$.

Odpowiedź: $\alpha \approx 43^\circ$.

Zadanie 2: dana krawędź boczna, szukana wysokość

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $a = 8$, a krawędź boczna $b = 10$. Oblicz kąt między krawędzią boczną a podstawą oraz wysokość ostrosłupa.

Rozwiązanie. Połowa przekątnej podstawy: $OA = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$. Trójkąt $SOA$ jest prostokątny, przeciwprostokątną jest krawędź boczna $SA = 10$, przyprostokątną przy kącie $\alpha$ jest $OA$.

$\cos \alpha = \frac{OA}{SA} = \frac{4\sqrt{2}}{10} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$

Stąd $\alpha = \arccos \frac{2\sqrt{2}}{5} \approx 55{,}6^\circ$.

Wysokość liczymy z twierdzenia Pitagorasa:

$H = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{100 - 32} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$

Sprawdzenie przez sinus: $\sin \alpha = \frac{H}{SA} = \frac{2\sqrt{17}}{10} = \frac{\sqrt{17}}{5} \approx 0{,}824$, co zgadza się z $\alpha \approx 55{,}6^\circ$.

Zadanie 3: ostrosłup prawidłowy trójkątny (czworościan niekoniecznie foremny)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a = 6$, a wysokość $H = 3\sqrt{3}$. Oblicz kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie. Podstawa to trójkąt równoboczny o boku $6$. Promień okręgu opisanego:

$OA = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

Tangens kąta:

$\tan \alpha = \frac{H}{OA} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2}$

Stąd $\alpha = \mathrm{arctg}\, \frac{3}{2} \approx 56{,}3^\circ$.

Zadanie 4: ostrosłup prawidłowy sześciokątny

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $a = 4$, a krawędź boczna $b = 8$. Oblicz kąt między krawędzią boczną a podstawą.

Rozwiązanie. W sześciokącie foremnym promień okręgu opisanego równa się długości boku, więc $OA = 4$. Przeciwprostokątna to krawędź boczna $SA = 8$.

$\cos \alpha = \frac{OA}{SA} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Stąd $\alpha = 60^\circ$. To klasyczna pułapka maturalna - zauważ, że trójkąt $SOA$ jest wtedy "prostokątnym trójkątem 30-60-90". Warto umieć to rozpoznawać na pierwszy rzut oka, bo oszczędza minut na egzaminie. Więcej o zależnościach w trójkącie 30-60-90 znajdziesz w osobnym poradniku.

Zadanie 5: dany kąt, szukana krawędź boczna

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma $a = 10$, a kąt między krawędzią boczną a podstawą wynosi $\alpha = 60^\circ$. Oblicz długość krawędzi bocznej i wysokość ostrosłupa.

Rozwiązanie. $OA = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$. Z definicji cosinusa:

$\cos 60^\circ = \frac{OA}{SA} \implies \frac{1}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{SA} \implies SA = 10\sqrt{2}$

Wysokość:

$H = SA \cdot \sin 60^\circ = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{6}$

Możesz też skorzystać z tangensa: $\tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{H}{5\sqrt{2}}$, więc $H = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{6}$. Zgadza się.

Kąt między krawędzią a podstawą a kąt nachylenia ściany bocznej

Uważaj - to dwa różne kąty, a maturzyści często je mylą. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy liczy się w innym trójkącie: zamiast $OA$ bierzesz $OM$, gdzie $M$ to środek krawędzi podstawy. $OM$ to apotema (promień okręgu wpisanego w podstawę). Schemat jest analogiczny, ale wzór na $OM$ inny:

• •kwadrat o boku $a$: $OM = \frac{a}{2}$,
• •trójkąt równoboczny: $OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}$,
• •sześciokąt foremny: $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Jeśli w zadaniu pada "kąt między ścianą boczną a podstawą" - to nie jest ten sam kąt co nasz. Przeczytaj polecenie dwa razy zanim policzysz.

Kąt między krawędzią boczną a ścianą boczną

W zadaniach rozszerzonych pojawia się jeszcze trzeci wariant: kąt między krawędzią boczną a sąsiednią ścianą boczną. Tu musisz rzutować krawędź $SA$ na płaszczyznę ściany $SBC$, a to już liczenie z iloczynu skalarnego albo rysowanie odcinka prostopadłego do płaszczyzny ściany. Trudniejsze, ale schemat "znajdź rzut i rozpoznaj trójkąt prostokątny" dalej działa.

Typowe błędy maturalne

Z poprawkowania prac CKE widać, że powtarzają się te same wpadki:

Błąd 1: Używanie boku podstawy zamiast promienia opisanego. Uczeń pisze $\tan \alpha = \frac{H}{a}$, co jest prawdą tylko przypadkiem dla sześciokąta foremnego. Zawsze przemyśl, co jest przyprostokątną.

Błąd 2: Mylenie okręgu opisanego z wpisanym. W kwadracie promień opisanego to $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, a wpisanego $\frac{a}{2}$. Jeśli pomylisz te dwa, dostaniesz inny kąt (nachylenie ściany zamiast krawędzi).

Błąd 3: Zaokrąglanie w trakcie obliczeń. Jeżeli zadanie pyta o dokładną wartość, podaj wynik w postaci $\mathrm{arctg}\, x$ albo zostaw pierwiastki. Zaokrąglaj dopiero na końcu, jeśli polecenie prosi o stopnie.

Błąd 4: Mieszanie miar - stopnie z radianami. Jeśli korzystasz z kalkulatora graficznego na maturze, ustaw DEG przed każdym zadaniem.

Błąd 5: Brak rysunku. To jest największa zgroza. Bez szkicu trójkąta $SOA$ nie rozpoznasz, który bok jest przyprostokątną, który przeciwprostokątną, i gdzie jest kąt. Rysuj zawsze, nawet jeśli czujesz, że liczysz "z głowy".

Powiązane zagadnienia

Aby opanować stereometrię do końca, warto też zajrzeć do innych moich poradników:

• •Stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty - pełny przewodnik po temacie.
• •Objętość i pole powierzchni brył - wzory na wszystkie bryły maturalne.
• •Jak obliczyć objętość ostrosłupa - bardzo bliski temat, często łączony w jednym zadaniu.
• •Trójkąt 30-60-90 i 45-45-90 - potrzebne, gdy kąt wyjdzie "ładny".
• •Sinus, cosinus, tangens - definicje i wartości - podstawowe funkcje w trójkącie prostokątnym.
• •Twierdzenie Pitagorasa - liczenie trzeciego boku w trójkącie.

Jeśli chcesz poćwiczyć na prawdziwych zadaniach CKE, zajrzyj na stronę tematu Stereometria - znajdziesz tam kilkadziesiąt zadań maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku.

Checklista - co musisz umieć po tej lekcji

Jeśli zrobisz powyższe zadania i powtórzysz je za tydzień, na maturze rozpoznasz typ zadania w 10 sekund i zgarniesz pewne 3-5 punktów. To jest matematyka - schemat się powtarza, wystarczy go zauważyć.

Następny krok Losuj kolejne zadanie