Stereometria na maturze - bryły, objętości i kąty krok po kroku

Stereometria - najtrudniejszy temat na maturze?

Stereometria ma opinię najtrudniejszego tematu na maturze z matematyki. Nie bez powodu - wymaga wyobraźni przestrzennej i umiejętności "zobaczenia" figury w 3D na płaskiej kartce. Ale jest dobra wiadomość: zadania ze stereometrii na maturze podstawowej opierają się na kilkunastu stałych wzorach i powtarzalnych schematach.

Na maturze pojawiają się zwykle 2-3 zadania ze stereometrii (zamknięte za 1 pkt + otwarte za 3-5 pkt). To potencjalnie 6-8 punktów - a zadanie otwarte ze stereometrii to często najtrudniejsze w arkuszu i za najwięcej punktów.

Bryły, które musisz znac

Na maturze podstawowej pojawiają się wyłącznie te bryły:

Nie musisz znać brył obrotowych ani wielościanów foremnych poza tymi z listy.

Wzory na objętości

Wszystkie wzory na objętość opierają się na dwóch zasadach:

Zasada 1: Graniastosłup/walec = pole podstawy razy wysokość

$$V_{\text{graniastosłup}} = P_p \cdot h$$
$$V_{\text{walec}} = \pi r^2 \cdot h$$

Zasada 2: Ostrosłup/stożek = jedna trzecia tego, co graniastosłup/walec

$$V_{\text{ostrosłup}} = \frac{1}{3} P_p \cdot h$$
$$V_{\text{stożek}} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h$$ Kula:
$$V_{\text{kula}} = \frac{4}{3} \pi r^3$$

Zapamiętaj te zasady zamiast wzorów - wtedy nigdy ich nie pomylisz. Graniastosłup to "pełna" bryła, ostrosłup to "jedna trzecia" tej samej bryły.

Wzory na pola powierzchni

Pole powierzchni całkowitej = pole podstaw + pole powierzchni bocznej.

Graniastosłup prosty:
$$P_c = 2P_p + P_b$$

gdzie $P_b$ to obwod podstawy razy wysokość (bo powierzchnia boczna to prostokąt "rozwinięty").

Ostrosłup prawidłowy:
$$P_c = P_p + P_b$$ gdzie $P_b$ to suma pól ścian bocznych (trójkątów). Dla ostrosłupa prawidłowego:
$$P_b = \frac{1}{2} \cdot \text{obwod podstawy} \cdot a_s$$

gdzie $a_s$ to apotema ściany bocznej (wysokość trójkąta bocznego).

Walec:
$$P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)$$ Stożek:
$$P_c = \pi r^2 + \pi r l$$

gdzie $l$ to tworząca stożka (nie wysokość!).

Kula:
$$P = 4\pi r^2$$

Wysokość bryły - jak ją znaleźć?

To jest klucz do rozwiązywania zadań maturalnych. Na maturze nigdy nie podają wprost wysokości ostrosłupa - musisz ją obliczyć sam. Schemat jest zawsze ten sam:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny (najczęstszy na maturze)

Podstawa to kwadrat o boku $a$. Przekątna kwadratu: $d = a\sqrt{2}$. Odległość od środka do wierzchołka: $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie: wierzchołek - środek podstawy - wierzchołek podstawy:

$$h = \sqrt{k^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}$$

gdzie $k$ to krawędź boczna ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Podstawa to trójkąt równoboczny o boku $a$. Promień okręgu opisanego na podstawie:

$$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

To jest odległość od środka do wierzchołka. Wysokość z tw. Pitagorasa:

$$h = \sqrt{k^2 - R^2} = \sqrt{k^2 - \frac{a^2}{3}}$$

Kąty w stereometrii

Na maturze pojawiają się dwa typy kątów:

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy

To kąt w trójkącie prostokątnym utworzonym przez:

$$\tg\alpha = \frac{h}{\text{odległość od środka do wierzchołka podstawy}}$$

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy

Tu potrzebujesz apotemy podstawy (odległość od środka do środka boku):

Dla kwadratu o boku $a$: apotema = $\frac{a}{2}$

Dla trójkąta równobocznego o boku $a$: apotema = $\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$$\tg\beta = \frac{h}{\text{apotema podstawy}}$$

Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

Przykład 1: Ostrosłup prawidłowy czworokątny (zadanie otwarte, 5 pkt)

Treść: Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku $8$ cm i krawędź boczną $\sqrt{41}$ cm.
a) Oblicz wysokość ostrosłupa.
b) Oblicz objętość ostrosłupa.
c) Oblicz kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie:

a) Wysokość

Przekątna podstawy (kwadratu): $d = 8\sqrt{2}$

Połowa przekątnej (odległość od środka $O$ do wierzchołka): $\frac{d}{2} = 4\sqrt{2}$

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2 = k^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 41 - 32 = 9$$
$$h = 3 \text{ cm}$$

b) Objętość

$$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64 \text{ cm}^3$$

c) Kąt nachylenia krawędzi bocznej

$$\tg\alpha = \frac{h}{\frac{d}{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$$ $$\alpha = \arctg\frac{3\sqrt{2}}{8} \approx 28°$$

Odpowiedź: a) $h = 3$ cm, b) $V = 64$ cm$^3$, c) $\alpha = \arctg\frac{3\sqrt{2}}{8}$

Przykład 2: Walec (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Pole powierzchni bocznej walca o promieniu $5$ cm i wysokości $4$ cm jest równe

A. $20\pi$ cm$^2$    B. $40\pi$ cm$^2$    C. $50\pi$ cm$^2$    D. $100\pi$ cm$^2$

Rozwiązanie:

$$P_b = 2\pi r h = 2\pi \cdot 5 \cdot 4 = 40\pi \text{ cm}^2$$

Uwaga: pytają o pole powierzchni bocznej, nie całkowitej! Nie dodawaj pól podstaw.

Odpowiedź: B

Przykład 3: Stożek i tworząca (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Stożek ma promień podstawy $3$ cm i wysokość $4$ cm. Długość tworzącej tego stożka jest równa

A. $5$ cm    B. $7$ cm    C. $\sqrt{7}$ cm    D. $25$ cm

Rozwiązanie:

Tworząca $l$ to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi $r$ i $h$:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

Odpowiedź: A

Przykład 4: Graniastosłup i objętość (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Graniastosłup prosty ma podstawę będącą trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm. Wysokość graniastosłupa wynosi $10$ cm. Objętość tego graniastosłupa jest równa

A. $60$ cm$^3$    B. $120$ cm$^3$    C. $30$ cm$^3$    D. $40$ cm$^3$

Rozwiązanie:

Pole podstawy (trójkąt prostokątny):
$$P_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ cm}^2$$ Objętość:
$$V = P_p \cdot h = 6 \cdot 10 = 60 \text{ cm}^3$$

Odpowiedź: A

Najczęstsze błędy

Błąd 1: Mylenie wysokości z krawędzią boczną. Wysokość ostrosłupa to odcinek prostopadły do podstawy, biegnący od wierzchołka do środka. Krawędź boczna biegnie od wierzchołka do wierzchołka podstawy. To nie to samo!

Błąd 2: Zapominanie o $\frac{1}{3}$ w ostrosłupie/stożku. Klasyczny błąd pod presją czasu - obliczasz pole podstawy razy wysokość i nie dzielisz przez 3.

Błąd 3: Mylenie tworzącej z wysokością stożka. Tworząca to bok trójkąta prostokątnego (przeciwprostokątna), a wysokość to przyprostokątna. $l > h$ zawsze.

Błąd 4: Złe rysunki. Narysuj przekrój bryły (trójkąt prostokątny w środku) zamiast całej bryły 3D. Przekrój jest płaski i łatwiej na nim liczyć.

Strategia na maturze

1. Zawsze rysuj przekrój - nawet na brudno. Przekrój prostokątny przez wierzchołek i środek podstawy daje trójkąt, w którym widać wszystkie potrzebne wymiary.
2. Wypisz dane i szukane - wpisz je na rysunek.
3. Znajdź wysokość z tw. Pitagorasa - to prawie zawsze krok nr 1.
4. Oblicz po kolei - objętość, pole, kąt - zapisując każdy krok.
5. Sprawdź jednostki - jeśli wynik wychodzi ujemny lub absurdalnie duży, sprawdź obliczenia.

Na Sprawnej Maturze znajdziesz zadania ze stereometrii z prawdziwych arkuszy CKE - przećwicz je, zaczynając od tych za 1 punkt, i stopniowo przechodź do zadań otwartych za 5 punktów.