Sinus, cosinus i tangens na maturze - definicje, wartości i zastosowania

Sinus, cosinus i tangens - podstawa trygonometrii maturalnej

Sinus, cosinus i tangens to trzy funkcje trygonometryczne, które pojawiają się na każdej maturze z matematyki. Nie da się ich ominąć - CKE regularnie daje 2-4 zadania bezpośrednio z trygonometrii, a pośrednio trygonometria pojawia się w zadaniach z planimetrii, stereometrii i geometrii analitycznej.

W tym przewodniku znajdziesz wszystko, co musisz wiedzieć o sinusie, cosinusie i tangensie na maturę podstawową: definicje, tabelkę wartości, kluczowe wzory i pełne rozwiązania zadań maturalnych. Cały materiał możesz przećwiczyć na zadaniach z naszego zbioru zadań z trygonometrii.

Definicje w trójkącie prostokątnym

To jest punkt wyjścia. Każda definicja odnosi się do kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym:

$\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$ $\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$ $\tan \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko } \alpha}{\text{przyprostokątna przy } \alpha}$

Jak to zapamiętać? Wystarczy prosty schemat:

• •Sinus - Sinus = Stojąca naprzeciwko (przyprostokątna naprzeciwko kąta) do przeciwprostokątnej
• •Cosinus - przyprostokątna przy kącie do przeciwprostokątnej (ta "bliższa")
• •Tangens - stosunek dwóch przyprostokątnych: naprzeciwko do przy kącie

Weźmy konkretny trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5 (trójka pitagorejska). Dla kąta $\alpha$ leżącego naprzeciwko boku o długości 3:

$\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}$

A dla kąta $\beta$ leżącego naprzeciwko boku o długości 4:

$\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}$

Zauważ, że $\sin \alpha = \cos \beta$ i $\cos \alpha = \sin \beta$. To nie przypadek - sinus jednego kąta ostrego równa się cosinusowi drugiego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, bo $\alpha + \beta = 90°$.

Tabelka wartości trygonometrycznych

To jest najważniejsza tabela na maturze. Musisz ją znać na pamięć - nie znajdziesz jej w karcie wzorów CKE, choć część wartości da się z niej wywnioskować.

Jak zapamiętać tabelkę?

Oto trzy sprawdzone metody:

Metoda 1 - "pierwiastki z 0 do 4": Wartości sinusa to kolejno:

$\sin 0° = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0, \quad \sin 30° = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}, \quad \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 90° = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1$

Czyli pod pierwiastkiem masz kolejno: 0, 1, 2, 3, 4 - a wszystko dzielisz przez 2.

Metoda 2 - cosinus to odwrócony sinus: Wartości cosinusa czytasz od prawej do lewej - to te same liczby co sinus, ale w odwrotnej kolejności.

Metoda 3 - tangens z definicji: Jeśli znasz sinus i cosinus, tangens obliczysz z wzoru:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Na przykład: $\tan 60° = \frac{\sin 60°}{\cos 60°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Jedynka trygonometryczna

Najważniejszy wzór trygonometryczny na maturze:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Ten wzór jest prawdziwy dla każdego kąta $\alpha$. Wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa - jeśli w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $c$ podzielisz obie strony równania $a^2 + b^2 = c^2$ przez $c^2$, dostaniesz:

$\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Więcej o twierdzeniu Pitagorasa na maturze przeczytasz w osobnym artykule.

Do czego służy jedynka trygonometryczna?

Głównie do obliczania jednej funkcji, gdy znasz drugą. Na maturze to klasyka:

Przykład: Wiedząc, że $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ i $\alpha \in (0°, 90°)$, oblicz $\cos \alpha$ i $\tan \alpha$.

Rozwiązanie:

Z jedynki trygonometrycznej:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Ponieważ $\alpha \in (0°, 90°)$, cosinus jest dodatni:

$\cos \alpha = \frac{4}{5}$

Stąd tangens:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$

Tangens jako iloraz sinusa i cosinusa

Wzór, który łączy wszystkie trzy funkcje:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Ten wzór wyjaśnia, dlaczego tangens $90°$ jest nieokreślony - dzielilibyśmy przez $\cos 90° = 0$.

Z tego wzoru wynika też przydatna zależność:

$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Dowód jest prosty - wystarczy podzielić jedynkę trygonometryczną przez $\cos^2 \alpha$:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \Rightarrow \quad \tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Znaki funkcji trygonometrycznych w ćwiartkach

Na maturze rozszerzonej (i czasem na podstawowej przy kątach rozwartych) musisz wiedzieć, w których ćwiartkach funkcje trygonometryczne są dodatnie, a w których ujemne.

Jak zapamiętać? Reguła "Ala Studencko Tańczy Codziennie" - w kolejnych ćwiartkach dodatnie są: All (I - wszystkie), Sinus (II), Tangens (III), Cosinus (IV).

Na maturze podstawowej najważniejsze jest zapamiętanie, że:

• •Sinus kąta rozwartego jest dodatni (bo kąty rozwarte leżą w II ćwiartce)
• •Cosinus kąta rozwartego jest ujemny

To pojawia się w zadaniach z trójkątami, gdzie kąt może być rozwarty.

Kąty w stopniach i radianach

Na maturze podstawowej kąty podawane są w stopniach. Na rozszerzonej mogą pojawić się radiany. Przelicznik jest prosty:

$180° = \pi \text{ rad}$

Najważniejsze odpowiedniki:

Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów pozwala rozwiązywać dowolne trójkąty (nie tylko prostokątne). W trójkącie o bokach $a$, $b$, $c$ i kątach naprzeciwległych $\alpha$, $\beta$, $\gamma$:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Kiedy stosować twierdzenie sinusów?

Gdy znasz:

• •Dwa kąty i bok (obliczasz brakujący bok)
• •Dwa boki i kąt naprzeciwko jednego z nich (obliczasz kąt naprzeciwko drugiego)
• •Bok i kąt naprzeciwko niego, gdy szukasz promienia okręgu opisanego

Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów to uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne trójkąty:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Gdy $\gamma = 90°$, to $\cos 90° = 0$ i wzór upraszcza się do $c^2 = a^2 + b^2$ - czyli do zwykłego twierdzenia Pitagorasa.

Kiedy stosować twierdzenie cosinusów?

Gdy znasz:

• •Dwa boki i kąt między nimi (obliczasz trzeci bok)
• •Trzy boki (obliczasz dowolny kąt)

Wzór na kąt z twierdzenia cosinusów:

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Na maturze podstawowej rzadko pytają o wykresy sinusa i cosinusa wprost, ale warto znać ich kształt, bo pomaga to w rozumowaniu.

Wykres sinusa

Funkcja $y = \sin x$:

• •Okres: $2\pi$ ($360°$)
• •Zakres wartości: $\langle -1, 1 \rangle$
• •Przechodzi przez $(0, 0)$, rośnie do $(90°, 1)$, maleje do $(270°, -1)$
• •Miejsca zerowe: $0°, 180°, 360°, \ldots$

Wykres cosinusa

Funkcja $y = \cos x$:

• •Okres: $2\pi$ ($360°$)
• •Zakres wartości: $\langle -1, 1 \rangle$
• •Zaczyna od $(0°, 1)$, maleje do $(180°, -1)$, rośnie do $(360°, 1)$
• •Miejsca zerowe: $90°, 270°, \ldots$

Cosinus to tak naprawdę sinus przesunięty o $90°$ w lewo: $\cos x = \sin(x + 90°)$.

Wykres tangensa

Funkcja $y = \tan x$:

• •Okres: $\pi$ ($180°$)
• •Zakres wartości: $\mathbb{R}$ (cały zbiór liczb rzeczywistych)
• •Asymptoty pionowe przy $90°, 270°, \ldots$ (tam, gdzie $\cos x = 0$)
• •Przechodzi przez $(0, 0)$ i jest funkcją rosnącą na każdym przedziale ciągłości

Więcej o wykresach i własnościach funkcji znajdziesz w naszym przewodniku po funkcjach na maturze.

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 - Trójkąt prostokątny (1 pkt)

Treść: W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 10, a jedna z przyprostokątnych ma długość 6. Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta $\alpha$ leżącego naprzeciwko przyprostokątnej o długości 6.

Rozwiązanie:

Dane: przeciwprostokątna $c = 10$, przyprostokątna $a = 6$.

Sinus z definicji:

$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Drugą przyprostokątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$

Cosinus i tangens:

$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ $\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Odpowiedź: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \alpha = \frac{4}{5}$, $\tan \alpha = \frac{3}{4}$.

Zadanie 2 - Jedynka trygonometryczna (1 pkt)

Treść: Kąt ostry $\alpha$ spełnia warunek $\cos \alpha = \frac{5}{13}$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin \alpha + \tan \alpha$.

Rozwiązanie:

Z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym (sinus dodatni):

$\sin \alpha = \frac{12}{13}$

Tangens:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$

Suma:

$\sin \alpha + \tan \alpha = \frac{12}{13} + \frac{12}{5} = \frac{60}{65} + \frac{156}{65} = \frac{216}{65}$

Odpowiedź: $\sin \alpha + \tan \alpha = \frac{216}{65}$.

Zadanie 3 - Twierdzenie cosinusów (2 pkt)

Treść: W trójkącie $ABC$ boki mają długości $a = 5$, $b = 7$, $c = 8$. Oblicz cosinus kąta $\gamma$ (kąt między bokami $a$ i $b$).

Rozwiązanie:

Stosujemy twierdzenie cosinusów w postaci na kąt:

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Podstawiamy:

$\cos \gamma = \frac{25 + 49 - 64}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

Odpowiedź: $\cos \gamma = \frac{1}{7}$.

Kąt $\gamma$ jest ostry, bo cosinus jest dodatni. Gdyby cosinus wyszedł ujemny, kąt byłby rozwarty - to ważna informacja w zadaniach maturalnych.

Zadanie 4 - Twierdzenie sinusów i okrąg opisany (2 pkt)

Treść: W trójkącie $ABC$ kąt $\alpha = 30°$, a bok $a = 6$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie:

Z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Podstawiamy:

$\frac{6}{\sin 30°} = 2R$

Z tabelki: $\sin 30° = \frac{1}{2}$, więc:

$\frac{6}{\frac{1}{2}} = 2R \quad \Rightarrow \quad 12 = 2R \quad \Rightarrow \quad R = 6$

Odpowiedź: Promień okręgu opisanego wynosi $R = 6$.

Zadanie 5 - Pole trójkąta z sinusem kąta (2 pkt)

Treść: W trójkącie $ABC$ dane są boki $a = 8$, $b = 10$ oraz kąt $\gamma = 60°$ między nimi. Oblicz pole tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Wzór na pole trójkąta, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi:

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$

Podstawiamy:

$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi $P = 20\sqrt{3}$.

Ten wzór jest niezwykle przydatny i pojawia się na maturze regularnie. Więcej zadań z polami figur znajdziesz w zbiorze pól i obwodów na maturze oraz w zadaniach z planimetrii.

Zadanie 6 - Trójkąt z kątem rozwartym (3 pkt)

Treść: W trójkącie $ABC$ bok $a = 4$, bok $b = 5$ i kąt $\alpha = 120°$. Oblicz długość boku $c$.

Rozwiązanie:

Uwaga - kąt $\alpha$ leży naprzeciwko boku $a$, ale w tym zadaniu kąt $120°$ leży między bokami... Nie! Kąt $\alpha$ leży naprzeciwko boku $a = 4$.

Spróbujmy inaczej. Oznaczymy kąt między bokami $a$ i $b$ jako $\gamma$ i zastosujmy twierdzenie sinusów, żeby najpierw znaleźć $\gamma$.

W rzeczywistości, gdy znamy $a$, $b$ i kąt $\alpha$ naprzeciwko $a$, korzystamy z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$ $\frac{4}{\sin 120°} = \frac{5}{\sin \beta}$ $\sin \beta = \frac{5 \cdot \sin 120°}{4} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{8}$

Sprawdźmy: $\frac{5\sqrt{3}}{8} \approx \frac{5 \cdot 1{,}732}{8} \approx \frac{8{,}66}{8} \approx 1{,}08 > 1$.

To niemożliwe - sinus nie może być większy od 1! Oznacza to, że taki trójkąt nie istnieje. Bok $a = 4$ jest za krótki, żeby leżeć naprzeciwko kąta $120°$ przy boku $b = 5$.

Odpowiedź: Trójkąt o podanych wymiarach nie istnieje.

To ważna lekcja - na maturze mogą pojawić się zadania, w których trzeba wykazać, że dana konfiguracja jest niemożliwa. Zawsze sprawdzaj, czy wynik jest sensowny!

Typowe pułapki na maturze

Pułapka 1: Mylenie przyprostokątnych

Sinus to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta do przeciwprostokątnej. Wielu uczniów myli ją z przyprostokątną przy kącie (to cosinus). Zanim podstawisz liczby, narysuj trójkąt i wyraźnie oznacz, która przyprostokątna jest "naprzeciwko", a która "przy".

Pułapka 2: Zapominanie o znakach

Jeśli kąt $\alpha$ jest rozwarty (np. 120°), to:

• •$\sin \alpha > 0$
• •$\cos \alpha < 0$

Wielu uczniów o tym zapomina i dostaje wynik z błędnym znakiem.

Pułapka 3: Tangens 90° nie istnieje

$\tan 90°$ jest nieokreślony. Jeśli w zadaniu wychodzi kąt 90° i trzeba obliczyć tangens, odpowiedź brzmi: "nie istnieje" lub "jest nieokreślony".

Pułapka 4: Niewłaściwe twierdzenie

Twierdzenie sinusów stosujemy, gdy znamy kąt i bok naprzeciwko niego. Twierdzenie cosinusów - gdy znamy dwa boki i kąt między nimi lub trzy boki. Wybór złego twierdzenia prowadzi donikąd.

Pułapka 5: Wartości z tabelki

Częsty błąd: $\sin 60° = \frac{1}{2}$. Nie! $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. To $\sin 30° = \frac{1}{2}$. Skrótem myślowym: większy kąt, większy sinus (dla kątów ostrych).

Podsumowanie - co musisz umieć na maturę

1. 1.Definicje sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym
2. 2.Tabelkę wartości dla 0°, 30°, 45°, 60°, 90° - na pamięć
3. 3.Jedynkę trygonometryczną $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ i umiejętność jej stosowania
4. 4.Wzór na tangens: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
5. 5.Twierdzenie sinusów i kiedy je stosować
6. 6.Twierdzenie cosinusów i kiedy je stosować
7. 7.Wzór na pole trójkąta z sinusem kąta: $P = \frac{1}{2}ab\sin \gamma$
8. 8.Znaki funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych

Wszystkie te tematy przećwiczysz w naszym zbiorze zadań z trygonometrii. Jeśli trygonometria sprawia ci trudności, zacznij od pewniaki maturalne, gdzie znajdziesz najprostsze typy zadań, które powtarzają się co roku. Sprawdź też nasz kompletny przewodnik po maturze 2027, żeby zobaczyć, jak trygonometria wpisuje się w całość arkusza.

Powodzenia na maturze!

Następny krok Losuj kolejne zadanie