Dana jest nierówność: |x − 3| ≥ 5 Na którym rysunku prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających powyższą nierówność? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Rozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną |x - 3| ≥ 5.
Krok 1: Zastosowanie definicji wartości bezwzględnej
Nierówność |x - 3| ≥ 5 jest spełniona, gdy: x - 3 ≥ 5 lub x - 3 ≤ -5
Krok 2: Rozwiązanie pierwszej nierówności
x - 3 ≥ 5 x ≥ 8
Krok 3: Rozwiązanie drugiej nierówności
x - 3 ≤ -5 x ≤ -2
Krok 4: Zbiór rozwiązań
Łączymy oba przypadki alternatywą sumy zbiorów: x ∈ (-∞, -2] ∪ [8, +∞)
Interpretacja geometryczna:
Nierówność |x - 3| ≥ 5 oznacza, że odległość punktu x od punktu 3 na osi liczbowej jest co najmniej 5.
- Punkty w lewo od 3: odległość wynosi 5 dla x = -2, więc x ≤ -2 - Punkty w prawo od 3: odległość wynosi 5 dla x = 8, więc x ≥ 8
Na osi liczbowej zaznaczamy: - Przedział od -∞ do -2 (włącznie z -2) - Przedział od 8 (włącznie) do +∞
Punkty -2 i 8 należą do zbioru rozwiązań (nierówność nieostra ≥), więc powinny być zaznaczone jako pełne kółka.
Odpowiedź: A
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.