Przejdź do treści
Równania i nierówności

Równanie trzeciego stopnia na maturze - metoda grupowania krok po kroku

Równanie z wielomianem trzeciego stopnia rozwiązujesz przez grupowanie: dwie pary wyrazów, wspólny nawias, iloczyn równy zero. Zobacz schemat w czterech krokach i pięć zadań z arkuszy CKE z pełnymi rozwiązaniami.

·8 min czytania

Równanie trzeciego stopnia typu x3+4x2−9x−36=0x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0 rozwiązujesz na maturze metodą grupowania. Dzielisz cztery wyrazy na dwie pary, z każdej pary wyciągasz wspólny czynnik przed nawias tak, żeby w obu nawiasach zostało to samo wyrażenie, i zapisujesz całość jako iloczyn. Potem korzystasz z warunku zerowania się iloczynu: skoro A⋅B=0A \cdot B = 0, to A=0A = 0 lub B=0B = 0. Każdy z tych dwóch warunków rozwiązujesz osobno i zbierasz wszystkie pierwiastki.

To zadanie ma na maturze stały adres. W Formule 2023 polecenie "Rozwiąż równanie" z wielomianem trzeciego stopnia stało w arkuszu maja 2023, czerwca 2023, sierpnia 2023, maja 2024, czerwca 2024 i sierpnia 2024, a także w arkuszu próbnym CKE z grudnia 2023. W arkuszach sprzed Formuły 2023 to samo polecenie wracało równie regularnie. Zawsze jest za 2 lub 3 punkty i zawsze da się je zrobić bez schematu Hornera i bez twierdzenia Bezouta.

Kiedy działa metoda grupowania

Metoda grupowania działa, gdy wielomian ma dokładnie cztery wyrazy i da się je podzielić na dwie pary o wspólnym czynniku. Praktyczny test jest jednolinijkowy: wyciągnij x2x^2 z dwóch pierwszych wyrazów i jakąś liczbę z dwóch ostatnich. Jeśli w obu nawiasach zostanie to samo wyrażenie, metoda zadziała. Jeśli nie, spróbuj zamienić kolejność wyrazów.

Na maturze podstawowej praktycznie każde równanie trzeciego stopnia jest tak skonstruowane, żeby ta metoda zadziałała za pierwszym razem. Widać to po strukturze: współczynniki przy x3x^3 i x2x^2 są w tej samej proporcji co współczynniki przy xx i przy wyrazie wolnym. W równaniu 3x3−2x2−12x+8=03x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0 proporcja 3:(−2)3 : (-2) powtarza się w (−12):8(-12) : 8, i to jest sygnał, że grupowanie zadziała.

Jeśli chcesz zobaczyć szerszy kontekst i pozostałe sposoby rozkładania wielomianu, mamy osobny wpis o tym, jak rozłożyć wielomian na czynniki. Grupowanie jest w nim jedną z sześciu metod, a tutaj rozbieramy tę jedną na części, bo to ona odpowiada za konkretne zadanie maturalne.

Wzory

Warunek zerowania się iloczynu:

A⋅B=0wtedy i tylko wtedy, gdyA=0 lub B=0A \cdot B = 0 \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad A = 0 \ \text{lub} \ B = 0

Schemat grupowania czterech wyrazów:

x2(px+q)+r(px+q)=(px+q)(x2+r)x^2(px+q) + r(px+q) = (px+q)(x^2+r)

Wzór na różnicę kwadratów:

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Pierwiastki równania niezupełnego:

x2=c⇒x=c lub x=−cdla c>0x^2 = c \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{c} \ \text{lub} \ x = -\sqrt{c} \quad \text{dla} \ c > 0

Rozwiązanie czynnika liniowego:

px+q=0⇒x=−qppx + q = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{q}{p}

Schemat w czterech krokach

Ten schemat pasuje do każdego maturalnego równania tego typu. Warto go przećwiczyć tak, żeby wchodził z automatu, bo wtedy całe zadanie zajmuje niecałe trzy minuty.

  1. 1.Przenieś wszystko na jedną stronę, tak żeby po prawej stronie zostało zero. Bez tego reszta nie ma sensu, bo warunek zerowania się iloczynu działa tylko wtedy, gdy iloczyn równa się zero.
  2. 2.Podziel cztery wyrazy na dwie pary. Z pierwszej wyciągnij x2x^2, z drugiej liczbę. Pilnuj znaków: gdy przed trzecim wyrazem stoi minus, prawdopodobnie wyciągasz liczbę ujemną.
  3. 3.Sprawdź, czy w obu nawiasach zostało to samo wyrażenie. Jeśli tak, wyciągnij ten nawias przed całość i zapisz iloczyn dwóch czynników.
  4. 4.Przyrównaj każdy czynnik do zera osobno i rozwiąż. Czynnik liniowy daje jeden pierwiastek, czynnik kwadratowy zero, jeden albo dwa. Na końcu wypisz wszystkie znalezione rozwiązania.

Przykład 1: Podstawowy rozkład

0/6
Matura czerwiec 2023Równania i nierówności

Treść: Rozwiąż równanie x3+4x2−9x−36=0x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Podziel wyrazy na dwie pary

    Pierwsza para to x3+4x2x^3 + 4x^2, druga to −9x−36-9x - 36.

  2. Krok 2

    Wyciągnij wspólny czynnik z każdej pary

    Z pierwszej pary wychodzi x2x^2, z drugiej liczba −9-9.

    x2(x+4)−9(x+4)=0x^2(x+4) - 9(x+4) = 0
  3. Krok 3

    Wyciągnij wspólny nawias

    W obu składnikach stoi (x+4)(x+4), więc wychodzi on przed całość.

    (x+4)(x2−9)=0(x+4)(x^2-9) = 0
  4. Krok 4

    Rozłóż drugi czynnik i przyrównaj do zera

    Wyrażenie x2−9x^2 - 9 to różnica kwadratów.

    (x+4)(x−3)(x+3)=0(x+4)(x-3)(x+3) = 0
Odpowiedź:

x=−4x = -4 lub x=−3x = -3 lub x=3x = 3.

Przykład 2: Współczynnik przy x do trzeciej różny od jedynki

0/6
Matura maj 2023Równania i nierówności

Treść: Rozwiąż równanie 3x3−2x2−12x+8=03x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Wyciągnij czynnik z pierwszej pary

    Z 3x3−2x23x^3 - 2x^2 wychodzi x2x^2, a w nawiasie zostaje 3x−23x-2.

    x2(3x−2)−12x+8=0x^2(3x-2) - 12x + 8 = 0
  2. Krok 2

    Dobierz czynnik z drugiej pary tak, żeby nawiasy się zgadzały

    Z −12x+8-12x + 8 trzeba wyciągnąć −4-4, bo tylko wtedy w nawiasie zostanie 3x−23x-2.

    x2(3x−2)−4(3x−2)=0x^2(3x-2) - 4(3x-2) = 0
  3. Krok 3

    Zapisz iloczyn

    (3x−2)(x2−4)=0(3x-2)(x^2-4) = 0
  4. Krok 4

    Rozwiąż oba czynniki

    Z pierwszego 3x−2=03x - 2 = 0, czyli x=23x = \frac{2}{3}. Z drugiego x2=4x^2 = 4, czyli x=2x = 2 lub x=−2x = -2.

Odpowiedź:

x=23x = \frac{2}{3} lub x=−2x = -2 lub x=2x = 2.

Przykład 3: Pierwiastki niewymierne

0/6
Matura maj 2024Równania i nierówności

Treść: Rozwiąż równanie x3−2x2−3x+6=0x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Zgrupuj i wyciągnij czynniki

    Z pierwszej pary wychodzi x2x^2, z drugiej −3-3.

    x2(x−2)−3(x−2)=0x^2(x-2) - 3(x-2) = 0
  2. Krok 2

    Zapisz iloczyn

    (x−2)(x2−3)=0(x-2)(x^2-3) = 0
  3. Krok 3

    Rozwiąż czynnik kwadratowy

    Liczba 33 nie jest kwadratem liczby całkowitej, więc pierwiastki wychodzą niewymierne. To normalne i nie znaczy, że gdzieś jest błąd.

    x2=3⇒x=3 lub x=−3x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{3} \ \text{lub} \ x = -\sqrt{3}
Odpowiedź:

x=2x = 2 lub x=3x = \sqrt{3} lub x=−3x = -\sqrt{3}.

Przykład 4: Gdy drugi czynnik nie ma pierwiastków

0/6
Matura próbna marzec 2013Równania i nierówności

Treść: Rozwiąż równanie 2x3+3x2+4x+6=02x^3 + 3x^2 + 4x + 6 = 0.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Zgrupuj wyrazy

    Z pierwszej pary wychodzi x2x^2, z drugiej 22.

    x2(2x+3)+2(2x+3)=0x^2(2x+3) + 2(2x+3) = 0
  2. Krok 2

    Zapisz iloczyn

    (2x+3)(x2+2)=0(2x+3)(x^2+2) = 0
  3. Krok 3

    Zbadaj drugi czynnik

    Wyrażenie x2+2x^2 + 2 jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej, bo x2≥0x^2 \ge 0, więc x2+2≥2x^2 + 2 \ge 2. Ten czynnik nigdy nie jest zerem i nie wnosi żadnego rozwiązania.

  4. Krok 4

    Rozwiąż czynnik liniowy

    2x+3=0⇒x=−322x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2}
Odpowiedź:

x=−32x = -\frac{3}{2}.

Przykład 5: Najpierw porządki, potem grupowanie

0/6
Matura próbna CKE grudzień 2023Równania i nierówności

Treść: Rozwiąż równanie 2x3+3x2=10x+152x^3 + 3x^2 = 10x + 15.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Przenieś wszystko na lewą stronę

    Po prawej ma zostać zero, inaczej warunek zerowania się iloczynu nie zadziała.

    2x3+3x2−10x−15=02x^3 + 3x^2 - 10x - 15 = 0
  2. Krok 2

    Zgrupuj wyrazy

    Z pierwszej pary wychodzi x2x^2, z drugiej −5-5.

    x2(2x+3)−5(2x+3)=0x^2(2x+3) - 5(2x+3) = 0
  3. Krok 3

    Zapisz iloczyn

    (2x+3)(x2−5)=0(2x+3)(x^2-5) = 0
  4. Krok 4

    Rozwiąż oba czynniki

    Z pierwszego x=−32x = -\frac{3}{2}, z drugiego x2=5x^2 = 5.

    x=5 lub x=−5x = \sqrt{5} \ \text{lub} \ x = -\sqrt{5}
Odpowiedź:

x=−32x = -\frac{3}{2} lub x=−5x = -\sqrt{5} lub x=5x = \sqrt{5}.

Przykład 6: Minus przed czynnikiem i ułamkowe pierwiastki

0/6
Matura czerwiec 2024Równania i nierówności

Treść: Rozwiąż równanie 4x3−12x2−x+3=04x^3 - 12x^2 - x + 3 = 0.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Wyciągnij czynnik z pierwszej pary

    Z 4x3−12x24x^3 - 12x^2 wychodzi 4x24x^2, a w nawiasie zostaje x−3x-3.

    4x2(x−3)−x+3=04x^2(x-3) - x + 3 = 0
  2. Krok 2

    Z drugiej pary wyciągnij minus jeden

    Zapis −x+3-x+3 to −1⋅(x−3)-1 \cdot (x-3). To najczęstsze miejsce na zgubienie znaku w całym zadaniu.

    4x2(x−3)−1(x−3)=04x^2(x-3) - 1(x-3) = 0
  3. Krok 3

    Zapisz iloczyn

    (x−3)(4x2−1)=0(x-3)(4x^2-1) = 0
  4. Krok 4

    Rozwiąż czynnik kwadratowy

    Wyrażenie 4x2−14x^2 - 1 to różnica kwadratów, bo 4x2=(2x)24x^2 = (2x)^2.

    4x2−1=(2x−1)(2x+1)⇒x=12 lub x=−124x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \ \text{lub} \ x = -\frac{1}{2}
Odpowiedź:

x=3x = 3 lub x=12x = \frac{1}{2} lub x=−12x = -\frac{1}{2}.

Jak sprawdzić wynik w kilkanaście sekund

Sprawdzenie polega na podstawieniu pierwiastka do pierwotnego równania i policzeniu, czy wychodzi zero. Wybierz do tego rozwiązanie o najmniejszej wartości bezwzględnej, bo rachunki będą najkrótsze. W równaniu x3+4x2−9x−36=0x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0 podstaw x=3x = 3: dostajesz 27+36−27−36=027 + 36 - 27 - 36 = 0, więc pierwiastek jest poprawny.

Jest też szybszy test samego rozkładu, bez podstawiania. Wymnóż w pamięci wyrazy wolne obu nawiasów i porównaj z wyrazem wolnym pierwotnego wielomianu. Dla rozkładu (x+4)(x2−9)(x+4)(x^2-9) wychodzi 4⋅(−9)=−364 \cdot (-9) = -36, czyli dokładnie tyle, ile stoi na końcu równania. Jeśli te dwie liczby się nie zgadzają, gdzieś zgubiłeś znak i nie ma sensu liczyć dalej.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

  • Przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę i doprowadzić równanie do postaci z zerem po prawej.
  • Podzielić cztery wyrazy na dwie pary i wyciągnąć wspólny czynnik z każdej.
  • Dobrać znak wyciąganej liczby tak, żeby oba nawiasy były identyczne.
  • Zapisać wielomian jako iloczyn dwóch czynników.
  • Zastosować wzór na różnicę kwadratów do czynnika postaci x2−cx^2 - c.
  • Rozpoznać czynnik postaci x2+cx^2 + c, który nie ma pierwiastków rzeczywistych.
  • Wypisać komplet rozwiązań, także wtedy, gdy jest ich tylko jedno.

Najczęstsze pytania

Ile rozwiązań ma równanie trzeciego stopnia?

Najwyżej trzy, ale może mieć mniej. Po rozłożeniu na iloczyn czynnika liniowego i kwadratowego liczba pierwiastków zależy od czynnika kwadratowego: postać x2−cx^2 - c dla c>0c > 0 daje dwa pierwiastki, postać x2+cx^2 + c dla c>0c > 0 nie daje żadnego, a x2=0x^2 = 0 daje jeden.

Czy do rozwiązania trzeba znać schemat Hornera?

Nie. Na maturze podstawowej równania trzeciego stopnia są tak dobrane, żeby wystarczyło grupowanie. Schemat Hornera i twierdzenie Bezouta przydają się w zadaniach z poziomu rozszerzonego oraz wtedy, gdy wielomian ma pięć albo więcej wyrazów. Opisujemy je we wpisie o wielomianach na maturze.

Co zrobić, gdy w obu nawiasach nie wychodzi to samo wyrażenie?

Sprawdź najpierw znak wyciąganej liczby, bo to najczęstsza przyczyna. Jeśli to nie pomaga, przestaw kolejność wyrazów i zgrupuj je inaczej, na przykład pierwszy z trzecim i drugi z czwartym. Dopiero gdy żaden podział nie działa, sięgnij po twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.

Czy odpowiedź trzeba zapisać jako zbiór?

Nie trzeba. Wystarczy wypisać wszystkie pierwiastki oddzielone słowem "lub", bo tak są sformułowane oczekiwane odpowiedzi w kryteriach CKE. Zapis zbiorem też jest poprawny, ale nie daje dodatkowych punktów.

Czy metoda grupowania działa dla równań czwartego stopnia?

Czasem tak, jeśli wielomian ma cztery wyrazy o pasującej strukturze. Częściej jednak w równaniach czwartego stopnia z samymi parzystymi potęgami lepiej działa podstawienie t=x2t = x^2, czyli metoda znana z równań dwukwadratowych. Wybór metody zależy od tego, jakie potęgi występują w równaniu.

Skąd wiadomo, że w zadaniu chodzi o grupowanie?

Po dwóch sygnałach naraz: wielomian ma dokładnie cztery wyrazy i jest trzeciego stopnia, a polecenie brzmi po prostu "Rozwiąż równanie". W arkuszach CKE ta para występuje razem konsekwentnie, więc gdy oba znaki są spełnione, zaczynaj od podziału na pary, a nie od szukania pierwiastka wymiernego.

Następny krok Losuj kolejne zadanie z równań i nierówności

Kategoria: Równania i nierówności

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Równanie iloczynowe - jak rozwiązać, ile ma rozwiązań i zadania maturalne CKE

Równanie iloczynowe rozwiązujesz jedną zasadą: każdy czynnik osobno do zera. Uczymy liczyć rozwiązania z pułapkami (czynnik bez pierwiastków, pierwiastek podwójny, dziedzina przy ułamku) i budować postać iloczynową grupowaniem. 7 zadań CKE krok po kroku.

Rozwiązanie zadania

Równanie kwadratowe niezupełne - jak rozwiązać bez delty i ile ma rozwiązań

Równanie kwadratowe niezupełne rozwiązujesz bez delty: gdy brakuje wyrazu wolnego, wyłączasz x przed nawias, gdy brakuje wyrazu z x, pierwiastkujesz. Oba typy, wzory, sześć zadań z arkuszy CKE i pułapki z równań iloczynowych „ile rozwiązań ma równanie".

Rozwiązanie zadania

Zadania z prędkością, drogą i czasem na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku

Wzór s = v·t, zamiana minut na godziny, schemat 5 kroków i osiem zadań CKE o pociągach, rowerzystach i turystach (matury 2012-2016) rozwiązanych krok po kroku, z pułapką średniej prędkości.