Zadania z prędkością, drogą i czasem na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku

Q: Jaki jest wzór na prędkość, drogę i czas?

Prędkość to droga podzielona przez czas: v=s/t. Z tego samego wzoru masz drogę s=v· t oraz czas t=s/v. W zadaniach maturalnych najczęściej wyrażasz czas przez drogę i prędkość, bo to o czasie mówi warunek z treści zadania.

Q: Jak zamienić minuty na godziny w zadaniu z prędkością?

Dzielisz liczbę minut przez 60 i zostawiasz ułamek zwykły: 20 min to 1/3 h, 40 min to 2/3 h, 75 min to 5/4 h, a 1 h 4 min to 64/60=16/15 h. Zamiany dokonujesz przed napisaniem równania, a nie po jego rozwiązaniu.

Q: Dlaczego w zadaniu z prędkością wychodzi równanie kwadratowe?

Bo prędkość stoi w mianowniku obu czasów: s/v i s/v+k. Po pomnożeniu równania przez wspólny mianownik v(v+k) po prawej stronie pojawia się iloczyn v·(v+k)=v²+kv, czyli wyrażenie kwadratowe. Jeden z dwóch pierwiastków jest zawsze ujemny albo sprzeczny z treścią i go odrzucasz.

Q: Jak obliczyć średnią prędkość na całej trasie?

Dzielisz całą drogę przez cały czas jazdy: v_sr=s_1+s_2/t_1+t_2. Dla dwóch równych odcinków pokonanych z prędkościami v_1 i v_2 wychodzi v_sr=2v_1v_2/v_1+v_2, na przykład dla 40 i 60 km/h dostajesz 48 km/h, a nie 50.

Wzór s = v·t, zamiana minut na godziny, schemat 5 kroków i osiem zadań CKE o pociągach, rowerzystach i turystach (matury 2012-2016) rozwiązanych krok po kroku, z pułapką średniej prędkości.

Filip Maszota

Opublikowano: 26 sierpnia 2026 · 15 min czytania

Spis treści

Zadanie z prędkością, drogą i czasem rozwiązujesz z jednego wzoru $s=v\cdot t$ , czyli $t=\frac{s}{v}$ oraz $v=\frac{s}{t}$ . Oznaczasz niewiadomą prędkość $v$ , każdy czas zapisujesz jako drogę podzieloną przez prędkość ( $\frac{s}{v}$ i $\frac{s}{v+k}$ , gdzie $k$ to różnica prędkości z treści), a warunek "o godzinę krócej" albo "razem 64 minuty" zamieniasz na równanie wymierne. Po pomnożeniu przez wspólny mianownik dostajesz równanie kwadratowe, liczysz deltę i odrzucasz pierwiastek ujemny. Minuty zamieniasz na godziny zawsze przed podstawieniem: $40$ min to $\frac{2}{3}$ h, $75$ min to $1{,}25$ h.

To jeden z najbardziej powtarzalnych typów zadań otwartych. W naszej bazie zadań CKE jest 13 zadań o prędkości, w tym pięć zadań za 5 punktów z arkuszy głównych: maj 2012 (zadanie 34), maj 2013 (zadanie 34), maj 2014 (zadanie 33), sierpień 2012 (zadanie 34) i sierpień 2014 (zadanie 32), a do tego zadanie 33 z czerwca 2016 łączące prędkość z procentami. Wszystkie mają identyczny szkielet, więc gdy raz go opanujesz, rozwiązujesz każde z nich w kilka minut. Niżej rozwiązujemy osiem zadań krok po kroku, a listę typów zadań tekstowych znajdziesz w przewodniku po zadaniach z treścią na maturze.

Wzór na prędkość, drogę i czas - co musisz mieć w głowie

Prędkość to droga podzielona przez czas: $v=\frac{s}{t}$ . Stąd droga to $s=v\cdot t$ , a czas to $t=\frac{s}{v}$ . W zadaniach maturalnych prawie zawsze wyrażasz czas przez drogę i prędkość, bo to właśnie o czasie mówi warunek z treści ("o godzinę krócej", "razem 64 minuty", "wyjechał 20 minut wcześniej").

Trzy rzeczy, które decydują o poprawnym wyniku:

•Jednostki muszą się zgadzać. Jeśli droga jest w kilometrach, a prędkość w km/h, to czas wychodzi w godzinach. Minuty z treści zamieniasz na godziny, dzieląc przez 60: $20$ min $=\frac{1}{3}$ h, $40$ min $=\frac{2}{3}$ h, $12$ min $=\frac{1}{5}$ h $=0{,}2$ h, $75$ min $=\frac{5}{4}$ h $=1{,}25$ h, $1$ h $4$ min $=\frac{64}{60}$ h $=\frac{16}{15}$ h.
•Zamiana km/h na m/s. $1$ km/h $=\frac{1000}{3600}$ m/s $=\frac{1}{3{,}6}$ m/s. Czyli $36$ km/h $=10$ m/s, a $72$ km/h $=20$ m/s. Na maturze podstawowej ta zamiana pojawia się rzadko, ale w zadaniach zamkniętych za 1 punkt bywa całym zadaniem.
•Prędkość jest średnia. Wszystkie zadania zakładają stałą (średnią) prędkość na odcinku. Nie ma tu przyspieszania ani zwalniania, więc wzór $s=v\cdot t$ działa bez żadnych poprawek.

269 zadań CKE z rozwiązaniami Ćwicz dział Równania i nierówności

Schemat rozwiązania zadania z prędkością w 5 krokach

Każde zadanie tekstowe o ruchu rozwiązujesz w tej samej kolejności: oznaczenie niewiadomej, tabela z drogą, prędkością i czasem, równanie z warunku o czasie, równanie kwadratowe, sprawdzenie pierwiastków. Ten schemat wystarcza na wszystkie zadania z tego wpisu.

Krok 1: oznacz niewiadomą Zwykle $v$ to prędkość wolniejszego pojazdu (albo ta, o którą pyta polecenie). Drugą prędkość zapisujesz przez $v$ : "o 24 km/h większa" to $v+24$ , "o 9,5 km/h mniejsza" to $v-9{,}5$ .

Krok 2: zrób tabelę droga / prędkość / czas Dla każdego pojazdu lub odcinka wpisz drogę i prędkość, a czas policz jako $\frac{s}{v}$ . Tabela zajmuje 30 sekund, a eliminuje 90 procent pomyłek.

Krok 3: zapisz równanie z warunku o czasie Warunek "krócej o 1 h" oznacza: dłuższy czas minus krótszy czas $=1$ . Warunek "razem 64 minuty" oznacza: suma czasów $=\frac{16}{15}$ . Warunek "wyjechał godzinę wcześniej i spotkali się" oznacza: czas pierwszego $=$ czas drugiego $+1$ .

Krok 4: pomnóż przez wspólny mianownik i policz deltę Równanie wymierne z $v$ w mianowniku mnożysz przez $v(v+k)$ . Wychodzi równanie kwadratowe. Jak przejść od równania wymiernego do kwadratowego bez gubienia dziedziny, pokazujemy we wpisie o rozwiązywaniu równań wymiernych, a samą deltę powtórzysz w artykule jak obliczyć deltę.

Krok 5: odrzuć pierwiastek bez sensu i sprawdź Prędkość ujemna odpada od razu. Czasem odpada też pierwiastek dodatni, bo treść daje dodatkowy warunek ("prędkość mniejsza od 25 km/h"). Na końcu podstaw wynik do treści i sprawdź, czy czasy faktycznie różnią się o tyle, ile trzeba. To sprawdzenie warto zapisać w arkuszu, egzaminator lubi je widzieć.

Trzy typy zadań o ruchu, które spotkasz na maturze

Zadania z prędkością na maturze dzielą się na trzy schematy: ta sama trasa pokonana przez dwa pojazdy (albo ten sam pojazd dwa razy), droga tam i z powrotem oraz jazda naprzeciw siebie do spotkania. W dwóch pierwszych równanie buduje różnica lub suma czasów, w trzecim równość czasów jazdy do miejsca spotkania.

1.Ta sama trasa, dwie prędkości. Pociąg pospieszny i osobowy, kolarz szybszy i wolniejszy, kierowca w jedną i w drugą stronę. Równanie: $\frac{s}{v}-\frac{s}{v+k}=\Delta t$ . To najczęstszy typ (maj 2012, maj 2013, sierpień 2012, sierpień 2014, próbna styczeń 2014).
2.Tam i z powrotem, suma czasów. Turysta wchodzi wolniej, schodzi szybciej, znasz łączny czas. Równanie: $\frac{s}{v}+\frac{s}{v+k}=T$ (maj 2014).
3.Naprzeciw siebie, spotkanie. Dwa pojazdy ruszają z $A$ i $B$ , jeden wcześniej. Drogi do miejsca spotkania sumują się do całej odległości, a czasy jazdy różnią się o przesunięcie startu (próbna luty 2013, zbiór treningowy CKE).

Osobną kategorią jest średnia prędkość na całej trasie, gdzie nie ma żadnego równania kwadratowego, tylko pułapka ze średnią arytmetyczną. Do niej wracamy w zadaniu z próbnej grudzień 2014.

Zadanie 34 (matura maj 2012) - dwa pociągi na tej samej trasie ↗

Matura maj 2012Zadanie 34Równania i nierówności5 pktOtwarte

Miasto

A

i miasto

B

łączy linia kolejowa długości

210

km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o

24

km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o

1

godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
oznacz niewiadomą
Niech $v$ oznacza prędkość pociągu osobowego w km/h, $v>0$ . Pociąg pospieszny jedzie z prędkością $v+24$ .
Krok 2
zapisz czasy
Osobowy: $t_o=\frac{210}{v}$ . Pospieszny: $t_p=\frac{210}{v+24}$ .
Krok 3
równanie z warunku
Pospieszny jedzie o godzinę krócej, więc czas osobowego minus czas pospiesznego to $1$ :
$\frac{210}{v}-\frac{210}{v+24}=1$
Krok 4
pomnóż przez $v(v+24)$
$210(v+24)-210v=v(v+24)$
$5040=v^2+24v \quad\Rightarrow\quad v^2+24v-5040=0$
$\Delta=24^2+4\cdot 5040=576+20160=20736$ , $\sqrt{\Delta}=144$ .
$v=\frac{-24+144}{2}=60 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{-24-144}{2}=-84$
Krok 5
odrzuć i odpowiedz
Prędkość $-84$ odpada. Osobowy jedzie $60$ km/h, pospieszny $60+24=84$ km/h. Czas pospiesznego: $t_p=\frac{210}{84}=2{,}5$ h, czyli $2$ godziny $30$ minut.
Sprawdzenie: osobowy $\frac{210}{60}=3{,}5$ h, pospieszny $2{,}5$ h, różnica dokładnie $1$ h. Uważaj na końcówkę: polecenie pyta o czas pospiesznego, nie o prędkość. Wiele osób kończy na $v=60$ i traci ostatni punkt. Pełna treść i punktacja w zadaniu 34 z matury maj 2012, a cały arkusz na stronie matury maj 2012.

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

269 zadań CKE z rozwiązaniami Ćwicz dział Równania i nierówności

Zadanie 34 (matura maj 2013) - różnica czasu podana w minutach ↗

Matura maj 2013Zadanie 34Równania i nierówności5 pktOtwarte

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości

336

kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o

40

minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o

9

km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
zamień minuty na godziny
$40$ min $=\frac{40}{60}$ h $=\frac{2}{3}$ h. Bez tej zamiany równanie będzie mieszać godziny z minutami i wynik wyjdzie bez sensu.
Krok 2
oznacz niewiadomą
Niech $v$ to prędkość drugiego (wolniejszego) pociągu, $v>0$ . Pierwszy jedzie z prędkością $v+9$ .
Krok 3
równanie z warunku
Czas drugiego minus czas pierwszego to $\frac{2}{3}$ h:
$\frac{336}{v}-\frac{336}{v+9}=\frac{2}{3}$
Krok 4
pomnóż przez $3v(v+9)$
$1008(v+9)-1008v=2v(v+9)$
$9072=2v^2+18v \quad\Rightarrow\quad v^2+9v-4536=0$
$\Delta=81+4\cdot 4536=81+18144=18225$ , $\sqrt{\Delta}=135$ .
$v=\frac{-9+135}{2}=63 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{-9-135}{2}=-72$
Krok 5
odpowiedź
Drugi pociąg: $63$ km/h. Pierwszy pociąg: $63+9=72$ km/h.
Sprawdzenie: $\frac{336}{63}=5\frac{1}{3}$ h $=5$ h $20$ min, $\frac{336}{72}=4\frac{2}{3}$ h $=4$ h $40$ min. Różnica $40$ minut, zgadza się. Zauważ, że $\sqrt{18225}=135$ wychodzi "ładnie". W zadaniach CKE delta jest prawie zawsze kwadratem liczby całkowitej, więc jeśli wychodzi ci pierwiastek niewymierny, wróć do równania i szukaj błędu rachunkowego. Treść zadania: zadanie 34, matura maj 2013.

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 33 (matura maj 2014) - tam i z powrotem, suma czasów ↗

Matura maj 2014Zadanie 33Równania i nierówności5 pktOtwarte

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość

2{,}1

km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy

1

godzinę i

4

minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o

1

km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
zamień czas
$1$ h $4$ min $=\frac{64}{60}$ h $=\frac{16}{15}$ h.
Krok 2
oznacz niewiadomą
Niech $v$ to prędkość wchodzenia (o nią pyta polecenie), $v>0$ . Prędkość schodzenia to $v+1$ .
Krok 3
równanie z sumy czasów
Tu czasy się dodają, bo znasz łączny czas obu odcinków:
$\frac{2{,}1}{v}+\frac{2{,}1}{v+1}=\frac{16}{15}$
Krok 4
pomnóż przez $15v(v+1)$
$31{,}5(v+1)+31{,}5v=16v(v+1)$
$63v+31{,}5=16v^2+16v \quad\Rightarrow\quad 16v^2-47v-31{,}5=0$
Pomnóż przez $2$ , żeby pozbyć się ułamka: $32v^2-94v-63=0$ .
$\Delta=94^2+4\cdot 32\cdot 63=8836+8064=16900$ , $\sqrt{\Delta}=130$ .
$v=\frac{94+130}{64}=\frac{224}{64}=3{,}5 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{94-130}{64}<0$
Krok 5
odpowiedź
Turysta wchodził z prędkością $3{,}5$ km/h (i schodził z prędkością $4{,}5$ km/h).
Sprawdzenie: $\frac{2{,}1}{3{,}5}=0{,}6$ h $=36$ min, $\frac{2{,}1}{4{,}5}=\frac{7}{15}$ h $=28$ min, razem $64$ minuty. To jedyne zadanie z tej serii z plusem między ułamkami. Jeśli w zadaniu "tam i z powrotem" napiszesz minus, dostaniesz równanie bez sensownego rozwiązania. Treść: zadanie 33, matura maj 2014, arkusz: matura maj 2014.

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 32 (matura sierpień 2014) - o 75 minut dłużej ↗

Matura sierpień 2014Zadanie 32Równania i nierówności5 pktOtwarte

Miasta

A

B

są oddalone o

450

km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o

75

minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o

18

km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości: prędkości, z jaką pani Danuta jechała z

A

B

prędkości, z jaką pani Lidia jechała z

A

B

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
zamień czas
$75$ min $=\frac{75}{60}$ h $=\frac{5}{4}$ h $=1{,}25$ h.
Krok 2
oznacz niewiadomą
Niech $v$ to prędkość pani Lidii (szybszej), $v>18$ , bo prędkość pani Danuty $v-18$ musi być dodatnia.
Krok 3
równanie
Czas Danuty minus czas Lidii to $1{,}25$ h:
$\frac{450}{v-18}-\frac{450}{v}=\frac{5}{4}$
Krok 4
pomnóż przez $4v(v-18)$
$1800v-1800(v-18)=5v(v-18)$
$32400=5v^2-90v \quad\Rightarrow\quad v^2-18v-6480=0$
$\Delta=324+25920=26244$ , $\sqrt{\Delta}=162$ .
$v=\frac{18+162}{2}=90 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{18-162}{2}=-72$
Krok 5
odpowiedź
Pani Lidia: $90$ km/h. Pani Danuta: $90-18=72$ km/h.
Sprawdzenie: $\frac{450}{90}=5$ h, $\frac{450}{72}=6{,}25$ h, różnica $1{,}25$ h $=75$ min. Zwróć uwagę na założenie $v>18$ z kroku 2. Gdy niewiadoma stoi w wyrażeniu $v-18$ , dziedzina równania to nie tylko $v\neq 0$ , ale też $v\neq 18$ , a sens fizyczny wymaga $v>18$ . Zapisz to w rozwiązaniu, to część punktacji za poprawne oznaczenia. Arkusz: matura sierpień 2014, treść: zadanie 32.

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 97 (zbiór zadań treningowych CKE) - rowerzyści naprzeciw siebie i wybór pierwiastka ↗

CKE PP treningoweZadanie 97Statystyka5 pktOtwarte

Z miejscowości

A

B

oddalonych od siebie o

182

km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości

B

do miejscowości

A

jedzie ze średnią prędkością mniejszą od

25

km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości

A

do miejscowości

B

wyjeżdża o

1

godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o

7

km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości

A

przebył do tego miejsca

\frac{9}{13}

całej drogi z

A

B

. Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
policz drogi do miejsca spotkania
Rowerzysta z $A$ : $\frac{9}{13}\cdot 182=126$ km. Rowerzysta z $B$ : $182-126=56$ km.
Krok 2
oznacz niewiadomą
Niech $v$ to prędkość rowerzysty z $B$ , przy czym $0<v<25$ . Rowerzysta z $A$ jedzie $v+7$ .
Krok 3
równanie z czasów jazdy
Rowerzysta z $A$ wyjechał godzinę wcześniej, więc do spotkania jechał o godzinę dłużej:
$\frac{126}{v+7}=\frac{56}{v}+1$
Krok 4
pomnóż przez $v(v+7)$
$126v=56(v+7)+v(v+7)$
$126v=56v+392+v^2+7v \quad\Rightarrow\quad v^2-63v+392=0$
$\Delta=63^2-4\cdot 392=3969-1568=2401$ , $\sqrt{\Delta}=49$ .
$v=\frac{63+49}{2}=56 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{63-49}{2}=7$
Krok 5
wybierz pierwiastek z warunku w treści
Oba pierwiastki są dodatnie, ale treść mówi, że prędkość rowerzysty z $B$ jest mniejsza od $25$ km/h. Zostaje $v=7$ . Rowerzysta z $B$ : $7$ km/h, rowerzysta z $A$ : $14$ km/h.
Sprawdzenie: $\frac{56}{7}=8$ h, $\frac{126}{14}=9$ h, różnica $1$ h. To zadanie pokazuje, po co w treści stoi warunek "mniejsza od 25 km/h": bez niego równanie ma dwa sensowne rozwiązania ( $56$ i $63$ km/h też spełniają równanie) i zadanie byłoby niejednoznaczne. Jeśli w treści jest taki warunek, to prawie na pewno będzie potrzebny do odrzucenia jednego z pierwiastków. Treść: zadanie 97 ze zbioru treningowego CKE.

Losuj kolejne zadanie z działu Statystyka

Zadanie 32 (matura próbna luty 2013) - spotkanie z przesuniętym startem ↗

Matura próbna luty 2013Zadanie 32Statystyka4 pktOtwarte

Z miast

A

B

odległych o

330

km wyjechały naprzeciwko siebie dwa samochody. Samochód jadący z miasta

A

wyjechał

20

minut wcześniej i jechał z prędkością o

9

km/h mniejszą niż samochód jadący z miasta

B

. Samochody te minęły się w odległości

168

km licząc od miasta

A

. Oblicz średnią prędkość każdego z samochodów.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
drogi do spotkania
Samochód z $A$ : $168$ km. Samochód z $B$ : $330-168=162$ km.
Krok 2
oznacz niewiadomą i zamień czas
Niech $v$ to prędkość samochodu z $B$ , $v>9$ . Samochód z $A$ jedzie $v-9$ . Przesunięcie startu: $20$ min $=\frac{1}{3}$ h.
Krok 3
równanie
Samochód z $A$ jechał do spotkania o $\frac{1}{3}$ h dłużej:
$\frac{168}{v-9}=\frac{162}{v}+\frac{1}{3}$
Krok 4
pomnóż przez $3v(v-9)$
$504v=486(v-9)+v(v-9)$
$504v=486v-4374+v^2-9v \quad\Rightarrow\quad v^2-27v-4374=0$
$\Delta=729+17496=18225$ , $\sqrt{\Delta}=135$ .
$v=\frac{27+135}{2}=81 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{27-135}{2}=-54$
Krok 5
odpowiedź
Samochód z $B$ : $81$ km/h. Samochód z $A$ : $72$ km/h.
Sprawdzenie: samochód z $B$ jechał $\frac{162}{81}=2$ h, samochód z $A$ jechał $\frac{168}{72}=2\frac{1}{3}$ h, czyli o $20$ minut dłużej. W zadaniach na spotkanie nie ma osobnej niewiadomej "czas": czas każdego pojazdu wyrażasz przez jego drogę do spotkania i prędkość, a łączy je przesunięcie startu. Treść: zadanie 32, próbna luty 2013.

Losuj kolejne zadanie z działu Statystyka

Zadanie 29 (matura próbna grudzień 2014) - średnia prędkość to nie średnia arytmetyczna ↗

Matura próbna grudzień 2014Zadanie 29Statystyka2 pktOtwarte

Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości

A

do miejscowości

C

przez miejscowość

B

, która znajduje się w połowie drogi z

A

C

. Wartość prędkości średniej samochodu na trasie z

A

B

była równa

40

km/h, a na trasie z

B

C

60

km/h. Oblicz wartość prędkości średniej samochodu na całej trasie z

A

C

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Samochód przejechał z miejscowości $A$ do miejscowości $C$ przez miejscowość $B$ , która znajduje się w połowie drogi z $A$ do $C$ . Średnia prędkość na trasie z $A$ do $B$ była równa $40$ km/h, a na trasie z $B$ do $C$ $60$ km/h. Oblicz średnią prędkość samochodu na całej trasie z $A$ do $C$ .

Odpowiedź $50$ km/h jest błędna. Średnia prędkość to cała droga podzielona przez cały czas, a nie średnia arytmetyczna prędkości na odcinkach. Samochód jedzie dłużej na wolniejszym odcinku, więc wolniejsza prędkość "waży" więcej i wynik wychodzi poniżej $50$ .

Krok 1
oznacz drogę
Niech cała trasa ma długość $2s$ , wtedy każdy odcinek ma długość $s$ .
Krok 2
policz czasy
$t_{AB}=\frac{s}{40}$ , $t_{BC}=\frac{s}{60}$ . Razem: $t=\frac{s}{40}+\frac{s}{60}=\frac{3s+2s}{120}=\frac{5s}{120}=\frac{s}{24}$ .
Krok 3
średnia prędkość
$v_{sr}=\frac{2s}{\frac{s}{24}}=48$ km/h.
Ogólny wzór dla dwóch równych odcinków to $v_{sr}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ (średnia harmoniczna): $\frac{2\cdot 40\cdot 60}{100}=48$ . Gdy odcinki nie są równe, wracasz do definicji: suma dróg przez sumę czasów. To dokładnie ten sam mechanizm, co przy średniej ważonej: prędkości ważysz czasami jazdy, nie drogami. Treść: zadanie 29, próbna grudzień 2014.

Losuj kolejne zadanie z działu Statystyka

Zadanie 33 (matura czerwiec 2016) - prędkość i procenty w jednym zadaniu ↗

Matura czerwiec 2016Zadanie 33Procenty5 pktOtwarte

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o

10\%

większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o

10\%

mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o

12

minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
oznacz
Niech $v$ to zakładana prędkość przelotowa, a $x$ czas przelotu we wtorek w minutach. Wtorek: prędkość $1{,}1v$ , czas $x$ . Czwartek: prędkość $0{,}9v$ , czas $x+12$ (wolniej, więc dłużej).
Krok 2
droga jest ta sama
Droga nad Austrią nie zmienia się, więc $s=1{,}1v\cdot x=0{,}9v\cdot(x+12)$ .
Krok 3
skróć $v$ i rozwiąż
Prędkość $v$ jest dodatnia, więc dzielisz obie strony przez $v$ :
$1{,}1x=0{,}9x+10{,}8 \quad\Rightarrow\quad 0{,}2x=10{,}8 \quad\Rightarrow\quad x=54$
Krok 4
odpowiedź
Przelot we wtorek trwał $54$ minuty (w czwartek $66$ minut).
Tu nie ma równania kwadratowego, bo nie znasz drogi ani prędkości, tylko ich stosunek. Trik polega na zapisaniu tej samej drogi dwoma sposobami i skróceniu $v$ . Zamianę "o 10% większa" na mnożnik $1{,}1$ powtórzysz we wpisie o obliczaniu procentu z liczby i zmianie procentowej. Treść: zadanie 33, matura czerwiec 2016.

Losuj kolejne zadanie z działu Procenty

Typowe pułapki w zadaniach z prędkością

•Minuty w równaniu obok godzin. "40 minut krócej" wpisane jako $40$ zamiast $\frac{2}{3}$ daje równanie bez sensownych pierwiastków. Zamieniaj jednostki w pierwszym kroku, zanim napiszesz równanie.
•Odjęte w złą stronę. Różnica czasów to zawsze czas wolniejszego minus czas szybszego, wtedy wychodzi liczba dodatnia. Jeśli odejmiesz odwrotnie, dostaniesz $-1$ po prawej stronie i wszystkie znaki się poplączą.
•Plus zamiast minus (albo odwrotnie). "Tam i z powrotem, razem 64 minuty" to suma czasów. "O godzinę krócej" to różnica. Przeczytaj warunek dwa razy, zanim wybierzesz znak.
•Zgubiona dziedzina. Przy $v-18$ w mianowniku zapisz $v>18$ . Egzaminator sprawdza, czy oznaczenia mają sens fizyczny, a to część punktów za pierwszy etap rozwiązania.
•Odpowiedź na inne pytanie. Zadanie z maja 2012 pyta o czas, zadanie z maja 2014 o prędkość wchodzenia, zadanie z sierpnia 2014 o obie prędkości. Po policzeniu $v$ wróć do polecenia i odpowiedz dokładnie na nie.
•Zignorowany warunek z treści. "Prędkość mniejsza od 25 km/h" nie jest ozdobnikiem, tylko kluczem do odrzucenia drugiego pierwiastka (zadanie 97).
•Średnia arytmetyczna prędkości. $\frac{40+60}{2}=50$ jest błędne, poprawne $48$ . Średnią prędkość zawsze liczysz z całej drogi i całego czasu.
•Brak sprawdzenia. Podstawienie wyniku do treści zajmuje 20 sekund i wyłapuje błąd w delcie. W zadaniach za 5 punktów to najtańsze ubezpieczenie, jakie masz.

Jak jest punktowane zadanie z prędkością

Zadania tego typu w arkuszach 2012-2016 były za 5 punktów, a schemat oceniania nagradzał każdy etap osobno: poprawne oznaczenia i wyrażenie czasów przez prędkość, ułożenie równania, doprowadzenie do równania kwadratowego, obliczenie pierwiastków z odrzuceniem niewłaściwego, odpowiedź zgodna z pytaniem. Nawet jeśli pomylisz się w delcie, dobrze ułożone równanie daje zwykle 2 z 5 punktów. Dlatego tabela i równanie muszą być zapisane czytelnie, a nie "w głowie". Szczegóły punktacji zadań otwartych opisujemy we wpisie jak punktowane są zadania na maturze, a strategię pisania rozwiązań w poradniku o zadaniach otwartych.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na prędkość, drogę i czas?

Prędkość to droga podzielona przez czas: $v=\frac{s}{t}$ . Z tego samego wzoru masz drogę $s=v\cdot t$ oraz czas $t=\frac{s}{v}$ . W zadaniach maturalnych najczęściej wyrażasz czas przez drogę i prędkość, bo to o czasie mówi warunek z treści zadania.

Jak zamienić minuty na godziny w zadaniu z prędkością?

Dzielisz liczbę minut przez 60 i zostawiasz ułamek zwykły: $20$ min to $\frac{1}{3}$ h, $40$ min to $\frac{2}{3}$ h, $75$ min to $\frac{5}{4}$ h, a $1$ h $4$ min to $\frac{64}{60}=\frac{16}{15}$ h. Zamiany dokonujesz przed napisaniem równania, a nie po jego rozwiązaniu.

Dlaczego w zadaniu z prędkością wychodzi równanie kwadratowe?

Bo prędkość stoi w mianowniku obu czasów: $\frac{s}{v}$ i $\frac{s}{v+k}$ . Po pomnożeniu równania przez wspólny mianownik $v(v+k)$ po prawej stronie pojawia się iloczyn $v\cdot(v+k)=v^2+kv$ , czyli wyrażenie kwadratowe. Jeden z dwóch pierwiastków jest zawsze ujemny albo sprzeczny z treścią i go odrzucasz.

Jak obliczyć średnią prędkość na całej trasie?

Dzielisz całą drogę przez cały czas jazdy: $v_{sr}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}$ . Dla dwóch równych odcinków pokonanych z prędkościami $v_1$ i $v_2$ wychodzi $v_{sr}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ , na przykład dla $40$ i $60$ km/h dostajesz $48$ km/h, a nie $50$ .

Jak rozwiązać zadanie, w którym dwa pojazdy jadą naprzeciw siebie?

Drogi obu pojazdów do miejsca spotkania sumują się do całej odległości, więc najpierw liczysz każdą z nich. Potem czas każdego pojazdu zapisujesz jako jego drogę podzieloną przez jego prędkość, a równanie buduje przesunięcie startu: ten, który wyjechał wcześniej, jechał do spotkania odpowiednio dłużej.

Który pierwiastek równania kwadratowego wybrać w zadaniu z prędkością?

Ten, który ma sens w treści zadania. Ujemny odpada zawsze, bo prędkość jest dodatnia. Jeśli oba są dodatnie, treść zawiera dodatkowy warunek, na przykład "prędkość mniejsza od 25 km/h", który wskazuje właściwy pierwiastek. Sprawdź też, czy wybrana wartość nie zeruje żadnego mianownika.

Ile punktów jest za zadanie z prędkością na maturze?

W arkuszach z lat 2012-2016 zadania o pociągach, kolarzach i turystach były zadaniami otwartymi za 5 punktów (na przykład zadanie 34 z maja 2012 i zadanie 33 z maja 2014). Punkty przyznawano etapami: za oznaczenia i równanie, za równanie kwadratowe, za pierwiastki z odrzuceniem niewłaściwego i za odpowiedź.

Checklista: co musisz umieć

Zapisać $s=v\cdot t$ i przekształcić na $t=\frac{s}{v}$ oraz $v=\frac{s}{t}$ .
Zamienić minuty na godziny ułamkiem zwykłym przed ułożeniem równania.
Oznaczyć prędkość wolniejszego pojazdu jako $v$ , a szybszego jako $v+k$ , z dziedziną $v>0$ (lub $v>k$ przy $v-k$ ).
Zbudować tabelę droga / prędkość / czas dla każdego pojazdu lub odcinka.
Rozpoznać typ warunku: różnica czasów, suma czasów albo przesunięcie startu przy spotkaniu.
Pomnożyć równanie wymierne przez wspólny mianownik i policzyć deltę.
Odrzucić pierwiastek ujemny lub sprzeczny z warunkiem z treści.
Odpowiedzieć dokładnie na pytanie z polecenia i zapisać sprawdzenie.
Liczyć średnią prędkość z całej drogi i całego czasu, nigdy ze średniej arytmetycznej.

Więcej zadań tego typu przećwiczysz w dziale Równania i nierówności oraz w zestawie zadań CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami. Jeśli chcesz przejść przez cały arkusz z tego okresu, zacznij od matury maj 2013, w której znajdziesz zadanie o dwóch pociągach.

Następny krok Losuj kolejne zadanie