Zadania z prędkością, drogą i czasem na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku

Zadania z prędkością, drogą i czasem na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku

Zadanie z prędkością, drogą i czasem rozwiązujesz z jednego wzoru $s=v\cdot t$, czyli $t=\frac{s}{v}$ oraz $v=\frac{s}{t}$. Oznaczasz niewiadomą prędkość $v$, każdy czas zapisujesz jako drogę podzieloną przez prędkość ($\frac{s}{v}$ i $\frac{s}{v+k}$, gdzie $k$ to różnica prędkości z treści), a warunek "o godzinę krócej" albo "razem 64 minuty" zamieniasz na równanie wymierne. Po pomnożeniu przez wspólny mianownik dostajesz równanie kwadratowe, liczysz deltę i odrzucasz pierwiastek ujemny. Minuty zamieniasz na godziny zawsze przed podstawieniem: $40$ min to $\frac{2}{3}$ h, $75$ min to $1{,}25$ h.

To jeden z najbardziej powtarzalnych typów zadań otwartych. W naszej bazie zadań CKE jest 13 zadań o prędkości, w tym pięć zadań za 5 punktów z arkuszy głównych: maj 2012 (zadanie 34), maj 2013 (zadanie 34), maj 2014 (zadanie 33), sierpień 2012 (zadanie 34) i sierpień 2014 (zadanie 32), a do tego zadanie 33 z czerwca 2016 łączące prędkość z procentami. Wszystkie mają identyczny szkielet, więc gdy raz go opanujesz, rozwiązujesz każde z nich w kilka minut. Niżej rozwiązujemy osiem zadań krok po kroku, a listę typów zadań tekstowych znajdziesz w przewodniku po zadaniach z treścią na maturze.

Wzór na prędkość, drogę i czas - co musisz mieć w głowie

Prędkość to droga podzielona przez czas: $v=\frac{s}{t}$. Stąd droga to $s=v\cdot t$, a czas to $t=\frac{s}{v}$. W zadaniach maturalnych prawie zawsze wyrażasz czas przez drogę i prędkość, bo to właśnie o czasie mówi warunek z treści ("o godzinę krócej", "razem 64 minuty", "wyjechał 20 minut wcześniej").

Trzy rzeczy, które decydują o poprawnym wyniku:

• •Jednostki muszą się zgadzać. Jeśli droga jest w kilometrach, a prędkość w km/h, to czas wychodzi w godzinach. Minuty z treści zamieniasz na godziny, dzieląc przez 60: $20$ min $=\frac{1}{3}$ h, $40$ min $=\frac{2}{3}$ h, $12$ min $=\frac{1}{5}$ h $=0{,}2$ h, $75$ min $=\frac{5}{4}$ h $=1{,}25$ h, $1$ h $4$ min $=\frac{64}{60}$ h $=\frac{16}{15}$ h.
• •Zamiana km/h na m/s. $1$ km/h $=\frac{1000}{3600}$ m/s $=\frac{1}{3{,}6}$ m/s. Czyli $36$ km/h $=10$ m/s, a $72$ km/h $=20$ m/s. Na maturze podstawowej ta zamiana pojawia się rzadko, ale w zadaniach zamkniętych za 1 punkt bywa całym zadaniem.
• •Prędkość jest średnia. Wszystkie zadania zakładają stałą (średnią) prędkość na odcinku. Nie ma tu przyspieszania ani zwalniania, więc wzór $s=v\cdot t$ działa bez żadnych poprawek.

Schemat rozwiązania zadania z prędkością w 5 krokach

Każde zadanie tekstowe o ruchu rozwiązujesz w tej samej kolejności: oznaczenie niewiadomej, tabela z drogą, prędkością i czasem, równanie z warunku o czasie, równanie kwadratowe, sprawdzenie pierwiastków. Ten schemat wystarcza na wszystkie zadania z tego wpisu.

Krok 1: oznacz niewiadomą Zwykle $v$ to prędkość wolniejszego pojazdu (albo ta, o którą pyta polecenie). Drugą prędkość zapisujesz przez $v$: "o 24 km/h większa" to $v+24$, "o 9,5 km/h mniejsza" to $v-9{,}5$.

Krok 2: zrób tabelę droga / prędkość / czas Dla każdego pojazdu lub odcinka wpisz drogę i prędkość, a czas policz jako $\frac{s}{v}$. Tabela zajmuje 30 sekund, a eliminuje 90 procent pomyłek.

Krok 3: zapisz równanie z warunku o czasie Warunek "krócej o 1 h" oznacza: dłuższy czas minus krótszy czas $=1$. Warunek "razem 64 minuty" oznacza: suma czasów $=\frac{16}{15}$. Warunek "wyjechał godzinę wcześniej i spotkali się" oznacza: czas pierwszego $=$ czas drugiego $+1$.

Krok 4: pomnóż przez wspólny mianownik i policz deltę Równanie wymierne z $v$ w mianowniku mnożysz przez $v(v+k)$. Wychodzi równanie kwadratowe. Jak przejść od równania wymiernego do kwadratowego bez gubienia dziedziny, pokazujemy we wpisie o rozwiązywaniu równań wymiernych, a samą deltę powtórzysz w artykule jak obliczyć deltę.

Krok 5: odrzuć pierwiastek bez sensu i sprawdź Prędkość ujemna odpada od razu. Czasem odpada też pierwiastek dodatni, bo treść daje dodatkowy warunek ("prędkość mniejsza od 25 km/h"). Na końcu podstaw wynik do treści i sprawdź, czy czasy faktycznie różnią się o tyle, ile trzeba. To sprawdzenie warto zapisać w arkuszu, egzaminator lubi je widzieć.

Trzy typy zadań o ruchu, które spotkasz na maturze

Zadania z prędkością na maturze dzielą się na trzy schematy: ta sama trasa pokonana przez dwa pojazdy (albo ten sam pojazd dwa razy), droga tam i z powrotem oraz jazda naprzeciw siebie do spotkania. W dwóch pierwszych równanie buduje różnica lub suma czasów, w trzecim równość czasów jazdy do miejsca spotkania.

1. 1.Ta sama trasa, dwie prędkości. Pociąg pospieszny i osobowy, kolarz szybszy i wolniejszy, kierowca w jedną i w drugą stronę. Równanie: $\frac{s}{v}-\frac{s}{v+k}=\Delta t$. To najczęstszy typ (maj 2012, maj 2013, sierpień 2012, sierpień 2014, próbna styczeń 2014).
2. 2.Tam i z powrotem, suma czasów. Turysta wchodzi wolniej, schodzi szybciej, znasz łączny czas. Równanie: $\frac{s}{v}+\frac{s}{v+k}=T$ (maj 2014).
3. 3.Naprzeciw siebie, spotkanie. Dwa pojazdy ruszają z $A$ i $B$, jeden wcześniej. Drogi do miejsca spotkania sumują się do całej odległości, a czasy jazdy różnią się o przesunięcie startu (próbna luty 2013, zbiór treningowy CKE).

Osobną kategorią jest średnia prędkość na całej trasie, gdzie nie ma żadnego równania kwadratowego, tylko pułapka ze średnią arytmetyczną. Do niej wracamy w zadaniu z próbnej grudzień 2014.

Zadanie 34 (matura maj 2012) - dwa pociągi na tej samej trasie ↗

Miasto $A$ i miasto $B$ łączy linia kolejowa długości $210$ km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o $24$ km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o $1$ godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

Krok 1: oznacz niewiadomą Niech $v$ oznacza prędkość pociągu osobowego w km/h, $v>0$. Pociąg pospieszny jedzie z prędkością $v+24$.

Krok 2: zapisz czasy Osobowy: $t_o=\frac{210}{v}$. Pospieszny: $t_p=\frac{210}{v+24}$.

Krok 3: równanie z warunku Pospieszny jedzie o godzinę krócej, więc czas osobowego minus czas pospiesznego to $1$:
$\frac{210}{v}-\frac{210}{v+24}=1$ Krok 4: pomnóż przez $v(v+24)$
$210(v+24)-210v=v(v+24)$
$5040=v^2+24v \quad\Rightarrow\quad v^2+24v-5040=0$
$\Delta=24^2+4\cdot 5040=576+20160=20736$, $\sqrt{\Delta}=144$.
$v=\frac{-24+144}{2}=60 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{-24-144}{2}=-84$

Krok 5: odrzuć i odpowiedz Prędkość $-84$ odpada. Osobowy jedzie $60$ km/h, pospieszny $60+24=84$ km/h. Czas pospiesznego: $t_p=\frac{210}{84}=2{,}5$ h, czyli $2$ godziny $30$ minut.

Sprawdzenie: osobowy $\frac{210}{60}=3{,}5$ h, pospieszny $2{,}5$ h, różnica dokładnie $1$ h. Uważaj na końcówkę: polecenie pyta o czas pospiesznego, nie o prędkość. Wiele osób kończy na $v=60$ i traci ostatni punkt. Pełna treść i punktacja w zadaniu 34 z matury maj 2012, a cały arkusz na stronie matury maj 2012.

Zadanie 34 (matura maj 2013) - różnica czasu podana w minutach ↗

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości $336$ kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o $40$ minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o $9$ km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.

Krok 1: zamień minuty na godziny $40$ min $=\frac{40}{60}$ h $=\frac{2}{3}$ h. Bez tej zamiany równanie będzie mieszać godziny z minutami i wynik wyjdzie bez sensu.

Krok 2: oznacz niewiadomą Niech $v$ to prędkość drugiego (wolniejszego) pociągu, $v>0$. Pierwszy jedzie z prędkością $v+9$.

Krok 3: równanie z warunku Czas drugiego minus czas pierwszego to $\frac{2}{3}$ h:
$\frac{336}{v}-\frac{336}{v+9}=\frac{2}{3}$ Krok 4: pomnóż przez $3v(v+9)$
$1008(v+9)-1008v=2v(v+9)$
$9072=2v^2+18v \quad\Rightarrow\quad v^2+9v-4536=0$
$\Delta=81+4\cdot 4536=81+18144=18225$, $\sqrt{\Delta}=135$.
$v=\frac{-9+135}{2}=63 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{-9-135}{2}=-72$

Krok 5: odpowiedź Drugi pociąg: $63$ km/h. Pierwszy pociąg: $63+9=72$ km/h.

Sprawdzenie: $\frac{336}{63}=5\frac{1}{3}$ h $=5$ h $20$ min, $\frac{336}{72}=4\frac{2}{3}$ h $=4$ h $40$ min. Różnica $40$ minut, zgadza się. Zauważ, że $\sqrt{18225}=135$ wychodzi "ładnie". W zadaniach CKE delta jest prawie zawsze kwadratem liczby całkowitej, więc jeśli wychodzi ci pierwiastek niewymierny, wróć do równania i szukaj błędu rachunkowego. Treść zadania: zadanie 34, matura maj 2013.

Zadanie 33 (matura maj 2014) - tam i z powrotem, suma czasów ↗

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość $2{,}1$ km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy $1$ godzinę i $4$ minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o $1$ km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Krok 1: zamień czas $1$ h $4$ min $=\frac{64}{60}$ h $=\frac{16}{15}$ h.

Krok 2: oznacz niewiadomą Niech $v$ to prędkość wchodzenia (o nią pyta polecenie), $v>0$. Prędkość schodzenia to $v+1$.

Krok 3: równanie z sumy czasów Tu czasy się dodają, bo znasz łączny czas obu odcinków:
$\frac{2{,}1}{v}+\frac{2{,}1}{v+1}=\frac{16}{15}$ Krok 4: pomnóż przez $15v(v+1)$
$31{,}5(v+1)+31{,}5v=16v(v+1)$
$63v+31{,}5=16v^2+16v \quad\Rightarrow\quad 16v^2-47v-31{,}5=0$
Pomnóż przez $2$, żeby pozbyć się ułamka: $32v^2-94v-63=0$.
$\Delta=94^2+4\cdot 32\cdot 63=8836+8064=16900$, $\sqrt{\Delta}=130$.
$v=\frac{94+130}{64}=\frac{224}{64}=3{,}5 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{94-130}{64}<0$

Krok 5: odpowiedź Turysta wchodził z prędkością $3{,}5$ km/h (i schodził z prędkością $4{,}5$ km/h).

Sprawdzenie: $\frac{2{,}1}{3{,}5}=0{,}6$ h $=36$ min, $\frac{2{,}1}{4{,}5}=\frac{7}{15}$ h $=28$ min, razem $64$ minuty. To jedyne zadanie z tej serii z plusem między ułamkami. Jeśli w zadaniu "tam i z powrotem" napiszesz minus, dostaniesz równanie bez sensownego rozwiązania. Treść: zadanie 33, matura maj 2014, arkusz: matura maj 2014.

Zadanie 32 (matura sierpień 2014) - o 75 minut dłużej ↗

Miasta $A$ i $B$ są oddalone o $450$ km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o $75$ minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o $18$ km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości prędkości obu pań.

Krok 1: zamień czas $75$ min $=\frac{75}{60}$ h $=\frac{5}{4}$ h $=1{,}25$ h.

Krok 2: oznacz niewiadomą Niech $v$ to prędkość pani Lidii (szybszej), $v>18$, bo prędkość pani Danuty $v-18$ musi być dodatnia.

Krok 3: równanie Czas Danuty minus czas Lidii to $1{,}25$ h:
$\frac{450}{v-18}-\frac{450}{v}=\frac{5}{4}$ Krok 4: pomnóż przez $4v(v-18)$
$1800v-1800(v-18)=5v(v-18)$
$32400=5v^2-90v \quad\Rightarrow\quad v^2-18v-6480=0$
$\Delta=324+25920=26244$, $\sqrt{\Delta}=162$.
$v=\frac{18+162}{2}=90 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{18-162}{2}=-72$

Krok 5: odpowiedź Pani Lidia: $90$ km/h. Pani Danuta: $90-18=72$ km/h.

Sprawdzenie: $\frac{450}{90}=5$ h, $\frac{450}{72}=6{,}25$ h, różnica $1{,}25$ h $=75$ min. Zwróć uwagę na założenie $v>18$ z kroku 2. Gdy niewiadoma stoi w wyrażeniu $v-18$, dziedzina równania to nie tylko $v\neq 0$, ale też $v\neq 18$, a sens fizyczny wymaga $v>18$. Zapisz to w rozwiązaniu, to część punktacji za poprawne oznaczenia. Arkusz: matura sierpień 2014, treść: zadanie 32.

Zadanie 97 (zbiór zadań treningowych CKE) - rowerzyści naprzeciw siebie i wybór pierwiastka ↗

Z miejscowości $A$ i $B$ oddalonych od siebie o $182$ km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z $B$ do $A$ jedzie ze średnią prędkością mniejszą od $25$ km/h. Rowerzysta jadący z $A$ do $B$ wyjeżdża o $1$ godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o $7$ km/h większą od prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z $A$ przebył do tego miejsca $\frac{9}{13}$ całej drogi z $A$ do $B$. Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

Krok 1: policz drogi do miejsca spotkania Rowerzysta z $A$: $\frac{9}{13}\cdot 182=126$ km. Rowerzysta z $B$: $182-126=56$ km.

Krok 2: oznacz niewiadomą Niech $v$ to prędkość rowerzysty z $B$, przy czym $0<v<25$. Rowerzysta z $A$ jedzie $v+7$.

Krok 3: równanie z czasów jazdy Rowerzysta z $A$ wyjechał godzinę wcześniej, więc do spotkania jechał o godzinę dłużej:
$\frac{126}{v+7}=\frac{56}{v}+1$ Krok 4: pomnóż przez $v(v+7)$
$126v=56(v+7)+v(v+7)$
$126v=56v+392+v^2+7v \quad\Rightarrow\quad v^2-63v+392=0$
$\Delta=63^2-4\cdot 392=3969-1568=2401$, $\sqrt{\Delta}=49$.
$v=\frac{63+49}{2}=56 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{63-49}{2}=7$

Krok 5: wybierz pierwiastek z warunku w treści Oba pierwiastki są dodatnie, ale treść mówi, że prędkość rowerzysty z $B$ jest mniejsza od $25$ km/h. Zostaje $v=7$. Rowerzysta z $B$: $7$ km/h, rowerzysta z $A$: $14$ km/h.

Sprawdzenie: $\frac{56}{7}=8$ h, $\frac{126}{14}=9$ h, różnica $1$ h. To zadanie pokazuje, po co w treści stoi warunek "mniejsza od 25 km/h": bez niego równanie ma dwa sensowne rozwiązania ($56$ i $63$ km/h też spełniają równanie) i zadanie byłoby niejednoznaczne. Jeśli w treści jest taki warunek, to prawie na pewno będzie potrzebny do odrzucenia jednego z pierwiastków. Treść: zadanie 97 ze zbioru treningowego CKE.

Zadanie 32 (matura próbna luty 2013) - spotkanie z przesuniętym startem ↗

Z miast $A$ i $B$ odległych o $330$ km wyjechały naprzeciwko siebie dwa samochody. Samochód jadący z miasta $A$ wyjechał $20$ minut wcześniej i jechał z prędkością o $9$ km/h mniejszą niż samochód jadący z miasta $B$. Samochody te minęły się w odległości $168$ km licząc od miasta $A$. Oblicz średnią prędkość każdego z samochodów.

Krok 1: drogi do spotkania Samochód z $A$: $168$ km. Samochód z $B$: $330-168=162$ km.

Krok 2: oznacz niewiadomą i zamień czas Niech $v$ to prędkość samochodu z $B$, $v>9$. Samochód z $A$ jedzie $v-9$. Przesunięcie startu: $20$ min $=\frac{1}{3}$ h.

Krok 3: równanie Samochód z $A$ jechał do spotkania o $\frac{1}{3}$ h dłużej:
$\frac{168}{v-9}=\frac{162}{v}+\frac{1}{3}$ Krok 4: pomnóż przez $3v(v-9)$
$504v=486(v-9)+v(v-9)$
$504v=486v-4374+v^2-9v \quad\Rightarrow\quad v^2-27v-4374=0$
$\Delta=729+17496=18225$, $\sqrt{\Delta}=135$.
$v=\frac{27+135}{2}=81 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{27-135}{2}=-54$

Krok 5: odpowiedź Samochód z $B$: $81$ km/h. Samochód z $A$: $72$ km/h.

Sprawdzenie: samochód z $B$ jechał $\frac{162}{81}=2$ h, samochód z $A$ jechał $\frac{168}{72}=2\frac{1}{3}$ h, czyli o $20$ minut dłużej. W zadaniach na spotkanie nie ma osobnej niewiadomej "czas": czas każdego pojazdu wyrażasz przez jego drogę do spotkania i prędkość, a łączy je przesunięcie startu. Treść: zadanie 32, próbna luty 2013.

Zadanie 29 (matura próbna grudzień 2014) - średnia prędkość to nie średnia arytmetyczna ↗

Samochód przejechał z miejscowości $A$ do miejscowości $C$ przez miejscowość $B$, która znajduje się w połowie drogi z $A$ do $C$. Średnia prędkość na trasie z $A$ do $B$ była równa $40$ km/h, a na trasie z $B$ do $C$ $60$ km/h. Oblicz średnią prędkość samochodu na całej trasie z $A$ do $C$.

Odpowiedź $50$ km/h jest błędna. Średnia prędkość to cała droga podzielona przez cały czas, a nie średnia arytmetyczna prędkości na odcinkach. Samochód jedzie dłużej na wolniejszym odcinku, więc wolniejsza prędkość "waży" więcej i wynik wychodzi poniżej $50$.

Krok 1: oznacz drogę Niech cała trasa ma długość $2s$, wtedy każdy odcinek ma długość $s$.

Krok 2: policz czasy $t_{AB}=\frac{s}{40}$, $t_{BC}=\frac{s}{60}$. Razem: $t=\frac{s}{40}+\frac{s}{60}=\frac{3s+2s}{120}=\frac{5s}{120}=\frac{s}{24}$.

Krok 3: średnia prędkość $v_{sr}=\frac{2s}{\frac{s}{24}}=48$ km/h.

Ogólny wzór dla dwóch równych odcinków to $v_{sr}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ (średnia harmoniczna): $\frac{2\cdot 40\cdot 60}{100}=48$. Gdy odcinki nie są równe, wracasz do definicji: suma dróg przez sumę czasów. To dokładnie ten sam mechanizm, co przy średniej ważonej: prędkości ważysz czasami jazdy, nie drogami. Treść: zadanie 29, próbna grudzień 2014.

Zadanie 33 (matura czerwiec 2016) - prędkość i procenty w jednym zadaniu ↗

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o $10\%$ większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek o $10\%$ mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o $12$ minut. Jak długo trwał przelot nad Austrią we wtorek?

Krok 1: oznacz Niech $v$ to zakładana prędkość przelotowa, a $x$ czas przelotu we wtorek w minutach. Wtorek: prędkość $1{,}1v$, czas $x$. Czwartek: prędkość $0{,}9v$, czas $x+12$ (wolniej, więc dłużej).

Krok 2: droga jest ta sama Droga nad Austrią nie zmienia się, więc $s=1{,}1v\cdot x=0{,}9v\cdot(x+12)$.

Krok 3: skróć $v$ i rozwiąż Prędkość $v$ jest dodatnia, więc dzielisz obie strony przez $v$:
$1{,}1x=0{,}9x+10{,}8 \quad\Rightarrow\quad 0{,}2x=10{,}8 \quad\Rightarrow\quad x=54$

Krok 4: odpowiedź Przelot we wtorek trwał $54$ minuty (w czwartek $66$ minut).

Tu nie ma równania kwadratowego, bo nie znasz drogi ani prędkości, tylko ich stosunek. Trik polega na zapisaniu tej samej drogi dwoma sposobami i skróceniu $v$. Zamianę "o 10% większa" na mnożnik $1{,}1$ powtórzysz we wpisie o obliczaniu procentu z liczby i zmianie procentowej. Treść: zadanie 33, matura czerwiec 2016.

Typowe pułapki w zadaniach z prędkością

• •Minuty w równaniu obok godzin. "40 minut krócej" wpisane jako $40$ zamiast $\frac{2}{3}$ daje równanie bez sensownych pierwiastków. Zamieniaj jednostki w pierwszym kroku, zanim napiszesz równanie.
• •Odjęte w złą stronę. Różnica czasów to zawsze czas wolniejszego minus czas szybszego, wtedy wychodzi liczba dodatnia. Jeśli odejmiesz odwrotnie, dostaniesz $-1$ po prawej stronie i wszystkie znaki się poplączą.
• •Plus zamiast minus (albo odwrotnie). "Tam i z powrotem, razem 64 minuty" to suma czasów. "O godzinę krócej" to różnica. Przeczytaj warunek dwa razy, zanim wybierzesz znak.
• •Zgubiona dziedzina. Przy $v-18$ w mianowniku zapisz $v>18$. Egzaminator sprawdza, czy oznaczenia mają sens fizyczny, a to część punktów za pierwszy etap rozwiązania.
• •Odpowiedź na inne pytanie. Zadanie z maja 2012 pyta o czas, zadanie z maja 2014 o prędkość wchodzenia, zadanie z sierpnia 2014 o obie prędkości. Po policzeniu $v$ wróć do polecenia i odpowiedz dokładnie na nie.
• •Zignorowany warunek z treści. "Prędkość mniejsza od 25 km/h" nie jest ozdobnikiem, tylko kluczem do odrzucenia drugiego pierwiastka (zadanie 97).
• •Średnia arytmetyczna prędkości. $\frac{40+60}{2}=50$ jest błędne, poprawne $48$. Średnią prędkość zawsze liczysz z całej drogi i całego czasu.
• •Brak sprawdzenia. Podstawienie wyniku do treści zajmuje 20 sekund i wyłapuje błąd w delcie. W zadaniach za 5 punktów to najtańsze ubezpieczenie, jakie masz.

Jak jest punktowane zadanie z prędkością

Zadania tego typu w arkuszach 2012-2016 były za 5 punktów, a schemat oceniania nagradzał każdy etap osobno: poprawne oznaczenia i wyrażenie czasów przez prędkość, ułożenie równania, doprowadzenie do równania kwadratowego, obliczenie pierwiastków z odrzuceniem niewłaściwego, odpowiedź zgodna z pytaniem. Nawet jeśli pomylisz się w delcie, dobrze ułożone równanie daje zwykle 2 z 5 punktów. Dlatego tabela i równanie muszą być zapisane czytelnie, a nie "w głowie". Szczegóły punktacji zadań otwartych opisujemy we wpisie jak punktowane są zadania na maturze, a strategię pisania rozwiązań w poradniku o zadaniach otwartych.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na prędkość, drogę i czas?
Prędkość to droga podzielona przez czas: $v=\frac{s}{t}$. Z tego samego wzoru masz drogę $s=v\cdot t$ oraz czas $t=\frac{s}{v}$. W zadaniach maturalnych najczęściej wyrażasz czas przez drogę i prędkość, bo to o czasie mówi warunek z treści zadania.

Jak zamienić minuty na godziny w zadaniu z prędkością?
Dzielisz liczbę minut przez 60 i zostawiasz ułamek zwykły: $20$ min to $\frac{1}{3}$ h, $40$ min to $\frac{2}{3}$ h, $75$ min to $\frac{5}{4}$ h, a $1$ h $4$ min to $\frac{64}{60}=\frac{16}{15}$ h. Zamiany dokonujesz przed napisaniem równania, a nie po jego rozwiązaniu.

Dlaczego w zadaniu z prędkością wychodzi równanie kwadratowe?
Bo prędkość stoi w mianowniku obu czasów: $\frac{s}{v}$ i $\frac{s}{v+k}$. Po pomnożeniu równania przez wspólny mianownik $v(v+k)$ po prawej stronie pojawia się iloczyn $v\cdot(v+k)=v^2+kv$, czyli wyrażenie kwadratowe. Jeden z dwóch pierwiastków jest zawsze ujemny albo sprzeczny z treścią i go odrzucasz.

Jak obliczyć średnią prędkość na całej trasie?
Dzielisz całą drogę przez cały czas jazdy: $v_{sr}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}$. Dla dwóch równych odcinków pokonanych z prędkościami $v_1$ i $v_2$ wychodzi $v_{sr}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$, na przykład dla $40$ i $60$ km/h dostajesz $48$ km/h, a nie $50$.

Jak rozwiązać zadanie, w którym dwa pojazdy jadą naprzeciw siebie?
Drogi obu pojazdów do miejsca spotkania sumują się do całej odległości, więc najpierw liczysz każdą z nich. Potem czas każdego pojazdu zapisujesz jako jego drogę podzieloną przez jego prędkość, a równanie buduje przesunięcie startu: ten, który wyjechał wcześniej, jechał do spotkania odpowiednio dłużej.

Który pierwiastek równania kwadratowego wybrać w zadaniu z prędkością?
Ten, który ma sens w treści zadania. Ujemny odpada zawsze, bo prędkość jest dodatnia. Jeśli oba są dodatnie, treść zawiera dodatkowy warunek, na przykład "prędkość mniejsza od 25 km/h", który wskazuje właściwy pierwiastek. Sprawdź też, czy wybrana wartość nie zeruje żadnego mianownika.

Ile punktów jest za zadanie z prędkością na maturze?
W arkuszach z lat 2012-2016 zadania o pociągach, kolarzach i turystach były zadaniami otwartymi za 5 punktów (na przykład zadanie 34 z maja 2012 i zadanie 33 z maja 2014). Punkty przyznawano etapami: za oznaczenia i równanie, za równanie kwadratowe, za pierwiastki z odrzuceniem niewłaściwego i za odpowiedź.

Checklista: co musisz umieć

• •Zapisać $s=v\cdot t$ i przekształcić na $t=\frac{s}{v}$ oraz $v=\frac{s}{t}$.
• •Zamienić minuty na godziny ułamkiem zwykłym przed ułożeniem równania.
• •Oznaczyć prędkość wolniejszego pojazdu jako $v$, a szybszego jako $v+k$, z dziedziną $v>0$ (lub $v>k$ przy $v-k$).
• •Zbudować tabelę droga / prędkość / czas dla każdego pojazdu lub odcinka.
• •Rozpoznać typ warunku: różnica czasów, suma czasów albo przesunięcie startu przy spotkaniu.
• •Pomnożyć równanie wymierne przez wspólny mianownik i policzyć deltę.
• •Odrzucić pierwiastek ujemny lub sprzeczny z warunkiem z treści.
• •Odpowiedzieć dokładnie na pytanie z polecenia i zapisać sprawdzenie.
• •Liczyć średnią prędkość z całej drogi i całego czasu, nigdy ze średniej arytmetycznej.

Więcej zadań tego typu przećwiczysz w dziale Równania i nierówności oraz w zestawie zadań CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami. Jeśli chcesz przejść przez cały arkusz z tego okresu, zacznij od matury maj 2013, w której znajdziesz zadanie o dwóch pociągach.