Z dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta B. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta szedł do miasta B jeszcze 1,5 godziny, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziny do miasta A.

Krok 1. Wypisanie danych z zadania.

Musimy sobie dokładnie zapisać i uporządkować wszystkie dane, które przydadzą nam się do rozwiązania tego zadania.

v₁ - prędkość pierwszego turysty (w km/h)

v₂ - prędkość drugiego turysty (w km/h)

t - czas po jakim pierwszy turysta spotkał drugiego (w godzinach)

Takie uwzględnienie danych pozwoli nam na zapisanie kolejnych relacji:

v₁ · t - trasa jaką pokonał pierwszy turysta do momentu spotkania

v₂ · (t-1) - trasa jaką pokonał drugi turysta do momentu spotkania (dajemy -1, bo drugi turysta szedł o godzinę krócej)

v₁ · t+v₂ · (t-1)=18 - wiemy, że suma pokonanych tras pierwszego i drugiego turysty jest na pewno równa 18

Wszystkie powyższe relacje były związane z momentem spotkania się dwóch turystów, ale z zadania możemy jeszcze wydobyć informacje o zależnościach pomiędzy dalszymi odcinkami trasy (po spotkaniu).

Pierwszy turysta poruszał się z prędkością v₁ jeszcze przez 1,5 godziny i w tym czasie pokonał on dystans 18-v₁ · t. To znaczy, że:

1,5 · v₁=18-v₁ · t

Drugi turysta poruszał się z prędkością v₂ jeszcze przez 4 godziny i w tym czasie pokonał on dystans 18-v₂ · (t-1). To znaczy, że:

4 · v₂=18-v₂ · (t-1)

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego układu równań.

Z powyższych danych jesteśmy w stanie utworzyć układ zawierający aż trzy równania:

v₁ · t+v₂ · (t-1)=18 1,5 · v₁=18-v₁ · t 4 · v₂=18-v₂ · (t-1)

To dla nas bardzo komfortowa sytuacja i możemy teraz wyliczyć poszczególne niewiadome na bardzo wiele sposobów. Wydaje się, że najpierw najprościej będzie wyznaczyć wartości v₁ oraz v₂ z dwóch ostatnich równań i podstawić je do pierwszego równania, stąd też:

1,5 · v₁=18-v₁ · t ⇒ v₁=18/(t+1,5) 4 · v₂=18-v₂ · (t-1) ⇒ v₂=18/(t+3)

Podstawiając te dane do pierwszego równania otrzymamy:

cancel 18/(t+1,5) · t+18/(t+3) · (t-1)=18 / · (t+1,5)(t+3) 18 · (t+3) · t+18 · (t+1,5) · (t+1,5) · (t-1)=18 · (t+1,5)(t+3) (18t+54)t+(18t+27)(t-1)=(18t+27)(t+3) 18t²+54t+18t²-18t+27t-27=18t²+54t+27+81 18t²-18t-108=0 /:18 t²-t-6=0

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: a=1, b=-1, c=-6

Δ=b²-4ac=(-1)²-4 · 1 · (-6)=1+24=25 √(Δ)=√(25)=5

t₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-1)-5)/(2 · 1)=(1-5)/2=-4/2=-2 t₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-1)+5)/(2 · 1)=(1+5)/2=6/2=3

Ujemny wynik możemy odrzucić, bo czas wędrówki musi być dodatni. Zostaje nam więc t=3.

Krok 4. Obliczenie prędkości dwóch turystów.

W drugim kroku wyznaczyliśmy sobie dwa wzory na prędkość obydwu wędrowców: v₁=18/(t+1,5) oraz v₂=18/(t+3). Skorzystamy z nich teraz, podstawiając wyliczony przed chwilą czas t=3.

v₁=18/(t+1,5)=18/(3+1,5)=18/(3+1,5)=4[km/h] v₂=18/(t+3)=18/(3+3)=18/6=3[km/h]