Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a² + b² = 7 , to a⁴ + b⁴ = 31 .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEZadanie wymaga od nas sprawnego posługiwania się wzorami skróconego mnożenia, a kluczem do sukcesu jest tak naprawdę to, aby wpaść na pomysł jak powiązać ze sobą wszystkie informacje z treści zadania.
Krok 1. Rozpisanie wartości a⁴+b⁴ przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Zgodnie ze wzorem na kwadrat sumy możemy zapisać, że:
(a²+b²)²=(a²)²+2a²b²+(b²)²=a⁴+b⁴+2a²b²
Aby lepiej zrozumieć co za chwilę zrobimy, możemy tą powyższą rozpiskę przedstawić jako równanie:
(a²+b²)²=a⁴+b⁴+2a²b²
Odejmując teraz obustronnie 2a²b² otrzymamy informację, że:
a⁴+b⁴=(a²+b²)²-2a²b²
Wartość a²+b² jest równa 7, a więc:
a⁴+b⁴=7²-2a²b² a⁴+b⁴=49-2a²b²
Gdyby teraz udało nam się udowodnić, że 2a²b² jest równe 18, to otrzymalibyśmy działanie 49-18, czyli 31, co zakończyłoby dowód.
Krok 2. Podniesienie do kwadratu wyrażenia a+b i obliczenie wartości 2a²b².
(a+b)²=a²+2ab+b²
Z treści zadania wiemy, że a+b=1 oraz że a²+b²=7, co po podstawieniu do tego wzoru da nam:
1²=7+2ab 2ab=-6
Jesteśmy już bardzo blisko końcowego rozwiązania, bo skoro 2ab=-6, to podnosząc obie strony do potęgi drugiej otrzymamy:
4a²b²=36 /:2 2a²b²=18
Krok 3. Zakończenie dowodu.
Znamy wartość 2a²b², więc podstawiając ją do wzoru z pierwszego kroku otrzymamy:
a⁴+b⁴=49-2a²b² a⁴+b⁴=49-18=31
Ostatecznie udowodniliśmy, że wartość a⁴+b⁴ jest faktycznie równa 31.
Inne: Zadania łączące kilka działów lub nietypowe polecenia, które nie wpisują się w jedną kategorię programu.