Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB ∥ CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC|=|CD| i |EB|=|BA|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Skoro podstawy tego czworokąta są równoległe to otrzymamy tak naprawdę trapez. Zadanie można udowodnić na wiele sposobów, ale najprostszy wykorzystuje informację, że suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu jest równa 180°. To oznacza, że jeśli |∢ABC|=α to |∢BCD|=180°-α i tak też zaznaczmy sobie na naszym szkicowym rysunku:
Dodatkowo na niebiesko i zielono zaznaczyliśmy sobie pary boków równej długości (zgodnie z treścią zadania).
Krok 2. Obliczenie miar kątów BEA oraz CED.
Rozpatrzmy sobie teraz dwa trójkąty - ABE oraz DCE. Suma kątów w każdym z tych trójkątów jest równa oczywiście 180°. Dodatkowo z treści zadania i z rysunku pomocniczego wynika, że są to trójkąty równoramienne, bo |EC|=|CD| i |EB|=|BA|. Skoro tak, to z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawach mają tą samą miarę, a więc:
|∢BAE|=|∢BEA| oraz |∢CDE|=|∢CED|
Co to oznacza? Jeśli w trójkącie ABE jeden kąt między ramionami ma miarę α, to dwa pozostałe przy podstawie |AE| mają łącznie 180°-α. Skoro te dwa pozostałe kąty muszą być sobie równe, to |∢BEA|=(180°-α)/2.
Analogicznie rozpatrzymy trójkąt DCE. Tutaj jeden kąt między ramionami ma miarę 180°-α, więc dwa pozostałe przy podstawie |DE| mają 180°-(180°-α)=α. Skoro te dwa pozostałe kąty muszą być sobie równe sobie równe to |∢CED|=α/2.
Krok 3. Obliczenie miary kąta AED.
Z twierdzenia o kątach przyległych wiemy, że:
|∢BEA|+|∢CED|+|∢AED|=180°
Znamy wartości dwóch z tych kątów (wyliczyliśmy je w drugim kroku), więc bez problemu wyliczymy teraz wartość kąta AED.
(180°-α)/2+α/2+|∢AED|=180° / · 2 180°-α+α+2 · |∢AED|=360° 2 · |∢AED|=180° |∢AED|=90°
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.