Okrąg o środku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3. Oblicz współrzędne punktu styczności.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: (23/5; 31/5)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Z rysunku musimy dostrzec, że prosta przechodząca przez środek okręgu i punkt A jest prostopadła do naszej prostej o równaniu y=2x-3 (wynika to bezpośrednio z własności stycznych do okręgu). To będzie nasz punkt wyjścia do dalszych obliczeń.
Krok 2. Ustalenie współczynnika a prostej prostopadłej do prostej y=2x-3.
Aby proste opisane wzorem ogólnym y=ax+b były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych a musi być równy -1. Skoro pierwsza prosta ma ten współczynnik równy a=2, to współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej p będzie równy:
2 · a=-1 a=-1/2
Wiemy już, że nasza prosta ma więc postać: y=-1/2 x+b.
Krok 3. Obliczenie współczynnika b.
Jesteśmy już bardzo blisko poznania pełnego wzoru prostej, brakuje nam jeszcze wartości współczynnika b. Obliczymy go podstawiając do wyznaczonego przed chwilą wzoru współrzędne punktu S=(3,7) przez które ta prosta przechodzi.
y=-1/2 x+b 7=-1/2 · 3+b 7=-1,5+b b=8 1/2
Wzór naszej prostej prostopadłej to: y=-1/2 x+8 1/2.
Krok 4. Obliczenie współrzędnych punktu A.
Skoro znamy pełne wzory dwóch prostych, to możemy stworzyć z nich układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne miejsca ich przecięcia, czyli współrzędne punktu A.
y=2x-3 y=-1/2 x+8 1/2
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymujemy:
2x-3=-1/2 x+8 1/2 2 1/2 x=11 1/2 5/2 x=23/2 x=23/5=4 3/5
Znając wartość współrzędnej x możemy podstawić ją do jednego z równań i wyznaczyć w ten sposób brakującą współrzędną y.
y=2x-3 y=2 · 4 3/5-3 y=9 1/5-3 y=6 1/5
Współrzędne punktu styczności to: A=(4 3/5;6 1/5).
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.