Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x+y=8. Oblicz x i y.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=-1, y=9
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego (środkowego) wyrazu ciągu.
Jedną z bardziej przydatnych własności ciągów arytmetycznych jest ta, która mówi o tym, że drugi wyraz ciągu będzie średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i trzeciego. Wynika to z poniższej zależności:
a_n=(a_(n-1)+a_(n+1))/2
W związku z tym:
a₂=(a_(2-1)+a_(2+1))/2 a₂=(a₁+a3)/2 y=(x+19)/2
Krok 2. Utworzenie odpowiedniego układu równań.
Równanie obliczone w pierwszym kroku i równanie x+y=8 z treści zadania tworzą układ równań, dzięki któremu bez problemu wyliczymy wartości x oraz y:
y=(x+19)/2 x+y=8
Krok 3. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, zwłaszcza że mamy już w pierwszym równaniu wyprowadzoną wartość y. Zatem podstawiając y=(x+19)/2 z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
x+(x+19)/2=8 / · 2 2x+x+19=16 3x=-3 x=-1
Do obliczenia pozostała nam jeszcze wartość y i możemy ją wyliczyć z dowolnie wybranego równania:
x+y=8 -1+y=8 y=9
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.