Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 3√(3)/8
Krok 1. Ustalenie tego, że trójkąt KLM jest równoboczny.
Gdybyśmy dorysowali sobie odcinki AK, KG i EL to zauważymy, że za każdym razem boki naszego trójkąta KLM są przeciwprostokątnymi trójkąta prostokątnego, bo trójkąty AKM, GKL oraz ELM są przystające. Wszystko powinien wyjaśnić rysunek pomocniczy.
Naszym celem będzie obliczenie długości jednego z boków trójkąta KLM (dowolnego, bo wszystkie są przecież tej samej miary). Przyjmijmy więc, że obliczymy długość odcinka MK. Możemy to zrobić wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa, ale potrzebujemy jeszcze znać miarę odcinków AM oraz AK. Z treści zadania wiemy, że |AM|=1:2=1/2. Brakuje nam jeszcze długości odcinka AK. Analizowany trójkąt wygląda więc mniej więcej w ten sposób:
Krok 2. Obliczenie długości odcinka AK.
Długość odcinka AK wyliczymy Twierdzeniem Pitagorasa z trójkąta ABK:
a²+b²=c² |AB|²+|BK|²=|AK|² 1²+(1/2)²=|AK|² 1+1/4=|AK|² |AK|²=5/4 |AK|=√(5/4) |AK|=-5/4
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości, więc |AK|=√(5/4).
Krok 3. Obliczenie długości odcinka MK, czyli boku trójkąta równobocznego KLM.
Znamy długości odcinków |AM|=1/2 oraz |AK|=√(5/4), możemy więc wrócić do trójkąta AMK i tym razem już bez przeszkód obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa długość odcinka MK (czyli boku trójkąta równobocznego KLM).
a²+b²=c² |AM|²+|AK|²=|MK|² (1/2)²+(√(5/4))²=|MK|² |MK|²=1/4+5/4 |MK|²=6/4=3/2 |MK|=√(3/2)
W związku z tym wiemy już, że bok naszego trójkąta równobocznego KLM ma miarę a=√(3/2).
Krok 4. Obliczenie pola trójkąta równobocznego KLM.
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego P=a²√(3)/4, zatem:
P_(KLM)=a²√(3)/4 P_(KLM)=(√(3/2))² · √(3)/4 P_(KLM)=3/2√(3)/4 P_(KLM)=3√(3)/8
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.