Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.√(6)
- B.3
- C.9
- D.3√(3)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2011-20.png]
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Znamy pole całkowite sześcianu, wiemy że sześcian ma sześć ścian, a więc każda ze ścian ma powierzchnię równą:
54:6=9
Wiemy już, że każda z tych ścian jest kwadratem o polu powierzchni równym 9, a więc długość krawędzi sześcianu jest równa:
a²=9 a=3 a=-3
Wartość a=-3 musimy oczywiście odrzucić, bo długość boku nie może być ujemna.
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Długość przekątnej sześcianu możemy opisać wzorem s=a√(3). To znaczy, że nasz sześcian ma przekątną równą s=3√(3).
Jeżeli nie pamiętasz tego wzoru, to możesz długość przekątnej sześcianu wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątnymi będą krawędź boczna, czyli a=3 oraz przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli d=3√(2). Przeciwprostokątną będzie wtedy poszukiwana przez nas przekątna sześcianu:
3²+(3√(2))²=s² 9+9 · 2=s² 9+18=s² s²=27 s=√(27)=√(9 · 3)=3√(3)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.