Przekątna kwadratu i prostokąta - wzór, okrąg wpisany i opisany, zadania maturalne

Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $d = a\sqrt{2}$, a przekątna prostokąta o bokach $a$ i $b$ to $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Oba wzory to twierdzenie Pitagorasa zapisane dla trójkąta, na który przekątna dzieli figurę. Z przekątnej odczytasz też okręgi: promień okręgu opisanego na kwadracie albo prostokącie to połowa przekątnej, $R = \frac{d}{2}$, a promień okręgu wpisanego w kwadrat to połowa boku, $r = \frac{a}{2}$.

Kwadrat i prostokąt wyglądają na materiał ze szkoły podstawowej, ale na maturze wracają w całej planimetrii: okrąg opisany na kwadracie, kwadrat wpisany w okrąg, przekątna prostokąta z kątem $30^\circ$, prostokąty podobne, kwadrat jako przekrój walca. W tym wpisie zbieramy wszystkie wzory w jednym miejscu, wyprowadzamy je z Pitagorasa i rozwiązujemy krok po kroku osiem zadań z arkuszy CKE, od jednopunktowych po otwarte.

Gdzie kwadrat i prostokąt pojawiają się na maturze

Zadania o kwadracie i prostokącie prawie nigdy nie pytają wprost "oblicz pole kwadratu o boku 5". Pytają o coś, co trzeba dopiero wyciągnąć z przekątnej: bok kwadratu, gdy znasz promień okręgu opisanego (matura maj 2010), pole kwadratu wpisanego w okrąg (matura maj 2012), drugi bok prostokąta z przekątnej i pierwszego boku (matura sierpień 2012), dłuższy bok z kąta między przekątną i bokiem (matura czerwiec 2012), obwód prostokąta podobnego do danego (matura czerwiec 2013) czy bok kwadratu z sumy pól dwóch kwadratów podobnych (matura czerwiec 2025).

Te same wzory potrzebujesz poza planimetrią. W stereometrii przekrój osiowy walca bywa kwadratem, a przekątna prostopadłościanu to Pitagoras zastosowany dwa razy, z przekątną prostokąta w podstawie jako krokiem pośrednim. W trygonometrii kąt między przekątną i bokiem prostokąta to gotowy trójkąt prostokątny do policzenia tangensa.

Przekątna kwadratu - skąd bierze się a√2

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne o przyprostokątnych $a$ i przeciwprostokątnej $d$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2, \quad d = a\sqrt{2}$

To jest ten sam trójkąt, który znasz jako trójkąt o kątach 45, 45 i 90 stopni: przeciwprostokątna jest $\sqrt{2}$ razy dłuższa od przyprostokątnej. Kąt między przekątną i bokiem kwadratu zawsze ma $45^\circ$.

Wzór działa też w drugą stronę. Gdy znasz przekątną, bok liczysz jako $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$, a po usunięciu niewymierności z mianownika dostajesz $a = \frac{d\sqrt{2}}{2}$. Pole kwadratu z samej przekątnej to $P = \frac{d^2}{2}$, bo kwadrat jest szczególnym rombem, a pole rombu to połowa iloczynu przekątnych: $\frac{d \cdot d}{2}$. Ten sam wzór z kalkulatorem znajdziesz na stronie pole rombu z przekątnych.

Przekątne kwadratu są równe, prostopadłe i dzielą się na połowy. Punkt ich przecięcia jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego i środkiem okręgu opisanego.

Przekątna prostokąta - Pitagoras i trygonometria

W prostokącie o bokach $a$ i $b$ przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $a$ i $b$:

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Obie przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy, ale nie są prostopadłe, chyba że prostokąt jest kwadratem. Gdy w zadaniu podano kąt $\alpha$ między przekątną i jednym z boków, masz gotowy trójkąt prostokątny: bok przyległy do kąta to $a$, bok naprzeciwko to $b$, więc $\operatorname{tg} \alpha = \frac{b}{a}$, $\sin \alpha = \frac{b}{d}$ i $\cos \alpha = \frac{a}{d}$. Wartości dla $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$ masz w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych.

Na każdym prostokącie da się opisać okrąg, bo przeciwległe kąty prostokąta sumują się do $180^\circ$, a to jest warunek czworokąta wpisanego w okrąg. Środek tego okręgu to punkt przecięcia przekątnych, a promień to połowa przekątnej: $R = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$. Okręgu wpisanego prostokąt nie ma, chyba że $a = b$: okrąg styczny do wszystkich czterech boków wymaga, żeby sumy przeciwległych boków były równe, a $a + a = b + b$ daje właśnie $a = b$.

Okrąg wpisany i opisany na kwadracie

Kwadrat o boku $a$ ma oba okręgi i oba mają środek w punkcie przecięcia przekątnych.

Okrąg opisany przechodzi przez cztery wierzchołki, więc jego średnica to przekątna: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Odwrotnie, kwadrat wpisany w okrąg o promieniu $R$ ma przekątną $2R$, bok $a = R\sqrt{2}$ i pole $P = \frac{(2R)^2}{2} = 2R^2$.

Okrąg wpisany jest styczny do czterech boków, więc jego średnica to bok: $r = \frac{a}{2}$. Kwadrat opisany na okręgu o promieniu $r$ ma bok $a = 2r$ i pole $P = 4r^2$.

Z tych dwóch wzorów wynika zależność, którą CKE lubi ukrywać w zadaniach: pole kwadratu wpisanego w okrąg jest dokładnie połową pola kwadratu opisanego na tym samym okręgu, bo $2R^2 : 4R^2 = 1 : 2$. Pełne zestawienie wzorów na pole i obwód wszystkich figur płaskich znajdziesz w liście wzorów na pole i obwód figur.

Wzory

Typowe pułapki i błędy

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z arkuszy CKE o kwadracie i prostokącie: od jednopunktowych zamkniętych po otwarte z układem równań. Każde otwiera się na własnej stronie z pełnym rozwiązaniem, a całą bazę zadań CKE z planimetrii masz pod jednym adresem.

• CKE PP treningoweZadanie 341 pkt
  Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu $4$ cm jest równe
• Matura maj 2023Zadanie 11Równania i nierówności1 pkt
  Dany jest prostokąt o bokach długości $a$ i $b$, gdzie $a\gt b$. Obwód tego prostokąta jest równy $30$. Jeden z boków prostokąta jest o $5$ krótszy od drugiego. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami: ……… oraz ……… .
• Matura sierpień 2021Zadanie 201 pkt
  Przekątna $AC$ prostokąta $ABCD$ ma długość $70$. Na boku $AB$ obrano punkt $E$, na przekątnej $AC$ obrano punkt $F$, a na boku $AD$ obrano punkt $G$ - tak, że czworokąt $AEFG$ jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto $|EF|=30$ i $|GF|=40$. Obwód prostokąta $ABCD$ jest równy:
• Matura maj 2020Zadanie 221 pkt
  Pole prostokąta $ABCD$ jest równe $90$. Na bokach $AB$ i $CD$ wybrano – odpowiednio – punkty $P$ i $R$, takie, że $\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}$ (zobacz rysunek). Pole czworokąta $APCR$ jest równe
• Matura sierpień 2011Zadanie 315 pkt
  Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa $65$ m. Boisko w drugiej szkole ma długość o $4$ m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o $8$ m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z boisk.
• Matura sierpień 2013Zadanie 325 pkt
  Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą $6000$ m 2 . Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o $10$ m i $15$ m oraz powierzchnię większą o $2250$ m 2 . Oblicz wymiary pierwszej działki.

Następny krok Losuj kolejne zadanie z planimetrii

Najczęstsze pytania o przekątną kwadratu i prostokąta