Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą 6000 m 2 . Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10 m i 15 m oraz powierzchnię większą o 2250 m 2 . Oblicz wymiary pierwszej działki.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 40 × 150 lub 100 × 60
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2013-32.png]
Krok 2. Wypisanie informacji z treści zadania i ułożenie układu równań.
s - szerokość pierwszej działki
d - długość pierwszej działki
s+10 - szerokość drugiej działki
d+15 - długość drugiej działki
Skoro pole prostokąta to P=ab, to dla dwóch działek możemy ułożyć następujący układ równań:
s · d=6000 (s+10) · (d+15)=6000+2250
Krok 3. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Wymnóżmy najpierw poszczególne nawiasy w drugim równaniu, otrzymując wtedy:
s · d=6000 sd+15s+10d+150=8250
Zgodnie z pierwszym równaniem możemy podstawić do drugiego równania sd=6000 oraz s=6000/d, zatem:
6000+15 · 6000/d+10d+150=8250 90000/d+10d-2100=0 / · d 10d²-2100d+90000=0 /:10 d²-210d+9000=0
Wykonanie ostatniego dzielenia przez 10 nie jest konieczne, ale dzięki temu będziemy operować na mniejszych liczbach.
Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: a=1, b=-210, c=9000
Δ=b²-4ac=(-210)²-4 · 1 · 9000=44100-36000=8100 √(Δ)=√(8100)=90
d₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-210)-90)/(2 · 1)=(210-90)/2=120/2=60 d₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-210)+90)/(2 · 1)=(210+90)/2=300/2=150
Krok 5. Wyznaczenie wymiarów działki.
Otrzymaliśmy dwa wyniki i żadnego z nich nie możemy wykluczyć. To oznacza, że to zadanie będzie miało dwa rozwiązania.
Jeśli długość działki jest równa d=60, to szerokość wynosi:
s=6000/d s=6000/60 s=100
Jeśli długość działki wynosi d=150, to jej szerokością będzie:
s=6000/150 s=40
Pierwsza działka ma wymiary 60m × 100m lub 150m × 40m.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.