Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72, a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Dorysujmy sobie wysokość ściany bocznej, oznaczmy kąt którego tangensa musimy obliczyć. Przyjmijmy też, że krawędź podstawy jest równa a:

Musimy obliczyć tangens między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną, czyli:

tgα=|OD|/|SO|

Długość odcinka OD jest nam znana, bo jest to długość promienia okręgu, czyli |OD|=r=2. Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć wysokość całego ostrosłupa i dopiero wtedy będziemy mogli obliczyć wartość tego tangensa.

Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.

Aby wyznaczyć wysokość ostrosłupa musimy najpierw policzyć pole podstawy, bowiem znając pole podstawy i objętość bryły (a ta jest podana w treści zadania) bez problemu obliczymy poszukiwaną wysokość ostrosłupa. Do obliczenia pola podstawy brakuje nam tak naprawdę znajomości długości krawędzi trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie i to właśnie tą długość teraz wyznaczymy (wiemy, że jest to trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny).

Punktem wyjścia będzie promień okręgu wpisanego w podstawę (którego długość znamy, bo r=2), który stanowi 1/3 wysokości tego trójkąta. Skoro jest to trójkąt równoboczny to wzór na jego wysokość możemy zapisać jako h=a√(3)/2, zatem:

r=1/3 · h r=1/3 · a√(3)/2 2=a√(3)/6 a√(3)=12 a=12/√(3)=12 · √(3)/(√(3) · √(3))=12√(3)/3=4√(3)

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.

Znając długość krawędzi możemy bez przeszkód obliczyć pole podstawy:

P_p=a²√(3)/4 P_p=(4√(3))²√(3)/4 P_p=16 · 3 · √(3)/4 P_p=12√(3)

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.

Zgodnie z tym co opisaliśmy sobie wcześniej - wysokość ostrosłupa wyznaczymy ze wzoru na objętość:

V=1/3 P_p · H 72=1/3 · 12√(3) · H 72=4√(3) · H H=72/(4√(3)) H=18/√(3)=18 · √(3)/(√(3) · √(3))=18√(3)/3=6√(3)

Krok 5. Oblicznie wartości tangensa.

Znamy już wszystkie potrzebne miary, możemy więc wyznaczyć wartość tangensa między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną:

|OD|=r=2 |SO|=H=6√(3) więc tgα=|OD|/|SO| tgα=2/(6√(3))=2 · √(3)/(6√(3) · √(3))=2√(3)/18=√(3)/9