Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=n²-n , dla n ≥ 1 . Który wyraz tego ciągu jest równy 6?
Odpowiedzi do wyboru
- A.drugi
- B.trzeci
- C.szósty
- D.trzydziesty
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby.
I sposób - metoda podstawiania:
Możemy podstawiać pod n poszczególne liczby z odpowiedzi (czyli n=2, n=3, n=6 oraz n=30) i sprawdzić kiedy wynik będzie równy 6. Całość wyglądałaby wtedy następująco:
a₂=2²-2=4-2=2 a₃=3²-3=9-3=6 a₆=n²-n=6²-6=36-6=30 a₃₀=n²-n=30²-30=900-30=870
To oznacza, że to właśnie trzeci wyraz tego ciągu jest równy 6.
II sposób - tworząc odpowiednie równanie kwadratowe:
Gdyby się okazało, że tego typu zadanie jest zadaniem otwartym, bez podpowiedzi, to całość moglibyśmy rozwiązać tworząc i rozwiązując odpowiednie równanie kwadratowe:
n²-n=6 n²-n-6=0
Współczynniki: a=1, b=-1, c=-6
Δ=b²-4ac=(-1)²-4 · 1 · (-6)=1+24=25 √(Δ)=√(25)=5
n₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-1)-5)/(2 · 1)=(1-5)/2=-4/2=-2 n₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-1)+5)/(2 · 1)=(1+5)/2=6/2=3
Skoro n > 1, to ujemny wynik odrzucamy i zostaje nam n=3, czyli trzeci wyraz.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.