Jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu - wzory, kąty, zadania matura

Przekątna sześcianu i prostopadłościanu to klasyczny temat, który pojawia się na maturze niemal w każdej sesji - czasem jako zadanie zamknięte za 1 punkt, czasem jako element większego zadania ze stereometrii za 4-5 punktów. Dobra wiadomość jest taka, że cały temat sprowadza się do dwóch wzorów i jednego twierdzenia, które już znasz - twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dwa razy. Gorsza, że uczniowie regularnie mylą przekątną ściany z przekątną przestrzenną i tracą punkt, mimo że całe wyprowadzenie zajmuje pół minuty.

W tym poście pokażę ci dokładnie, czym różni się przekątna ściany od przekątnej przestrzennej, skąd biorą się wzory $d = a\sqrt{3}$ i $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, jak liczyć kąty między przekątnymi a krawędziami i podstawą, a na końcu rozwiążemy razem pięć zadań w stylu maturalnym. Trzymaj się schematu z tego artykułu, a każde zadanie z przekątną zrobisz w trzy ruchy.

Czym jest przekątna sześcianu i prostopadłościanu

Zanim weźmiemy się za wzory, ustalmy nazewnictwo, bo tu właśnie ginie najwięcej punktów. W każdej bryle prostopadłościennej (sześcian to szczególny przypadek prostopadłościanu) wyróżniamy dwa rodzaje przekątnych.

Przekątna ściany to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki jednej ze ścian bryły. Ponieważ każda ściana sześcianu jest kwadratem, a każda ściana prostopadłościanu prostokątem, mówimy tu po prostu o przekątnej prostokąta lub kwadratu. Każda ściana ma dwie takie przekątne, a sześcian ma sześć ścian, więc łącznie wychodzi dwanaście przekątnych ścian.

Przekątna przestrzenna (nazywana też przekątną bryły) to odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie. W sześcianie i prostopadłościanie są to wierzchołki "po przekątnej" w sensie 3D: jeden u dołu, drugi u góry i to po przeciwnej stronie. Każda taka bryła ma dokładnie cztery przekątne przestrzenne - łączą one cztery pary najbardziej odległych wierzchołków. Wszystkie cztery przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem symetrii bryły.

Jeśli zadanie mówi "przekątna sześcianu" bez doprecyzowania, prawie zawsze chodzi o przekątną przestrzenną. Jeśli chodzi o przekątną ściany, autorzy zwykle wprost piszą "przekątna ściany bocznej", "przekątna podstawy" albo wskazują konkretne dwa wierzchołki literami. Czytaj polecenie do końca, zanim cokolwiek policzysz.

Wzór na przekątną sześcianu

Sześcian o krawędzi długości $a$ ma trzy charakterystyczne odcinki, które musisz mieć w pamięci. Krawędź to oczywiście $a$, przekątna ściany to $a\sqrt{2}$, a przekątna przestrzenna to $a\sqrt{3}$. Te trzy długości tworzą trójkąt prostokątny - i to jest cała tajemnica.

Wyprowadzenie wzoru na przekątną ściany jest banalne. Każda ściana sześcianu jest kwadratem o boku $a$. Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$, co wynika wprost z Pitagorasa: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, więc $d = a\sqrt{2}$. Ten wzór znasz pewnie z trójkąta 45-45-90, bo połowa kwadratu to dokładnie taki trójkąt.

Teraz wzór na przekątną przestrzenną. Wyobraź sobie, że stoisz u dołu sześcianu i patrzysz na przekątną biegnącą od dolnego rogu do górnego rogu po przeciwnej stronie. Możesz tę drogę pokonać w dwóch krokach: najpierw po przekątnej dolnej ściany (długość $a\sqrt{2}$), a potem do góry po pionowej krawędzi (długość $a$). Te dwa odcinki spotykają się pod kątem prostym, bo krawędź boczna sześcianu jest prostopadła do podstawy. Mamy więc trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to $a\sqrt{2}$ i $a$, a przeciwprostokątna to nasza przekątna przestrzenna $d$.

Z Pitagorasa:

$$d^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$$ $$d = a\sqrt{3}$$

I to jest cały wzór na przekątną sześcianu. Niezależnie od tego, jaką krawędź ma sześcian, jego przekątna przestrzenna jest $\sqrt{3}$ razy dłuższa od krawędzi. Zapamiętaj to jako pakiet:

Ta sekwencja pierwiastków $\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ jest tak elegancka, że trudno ją zapomnieć. Wiele zadań maturalnych celuje właśnie w to: dają ci jedną z tych długości i każą znaleźć dwie pozostałe albo objętość.

Wzór na przekątną prostopadłościanu

Prostopadłościan ma trzy różne wymiary: długość $a$, szerokość $b$ i wysokość $c$. Wzór na przekątną przestrzenną wyprowadzamy dokładnie tak samo jak dla sześcianu, tylko zamiast $a$ razy trzy podstawiamy odpowiednie trzy długości.

Najpierw przekątna podstawy. Podstawa jest prostokątem o bokach $a$ i $b$, więc jej przekątna z Pitagorasa ma długość $p = \sqrt{a^2 + b^2}$. Następnie ta przekątna podstawy i pionowa krawędź $c$ tworzą trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest przekątna przestrzenna $d$ prostopadłościanu. Znowu Pitagoras:

$$d^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$$ $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Trzy boki pod pierwiastkiem, sumowanie kwadratów - całość wygląda jak trójwymiarowy Pitagoras i tak czasem się go nazywa. Ten wzór warto wykuć na pamięć, bo na karcie wzorów CKE go nie znajdziesz w takiej formie (jest tylko zaznaczone, że $d = a\sqrt{3}$ dla sześcianu).

Łatwo sprawdzić, że wzór na sześcian to szczególny przypadek wzoru na prostopadłościan: dla $a = b = c$ mamy $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. To samo, tylko z trzech wymiarów zostaje jeden.

W sześcianie wszystkie przekątne przestrzenne mają taką samą długość. W prostopadłościanie też - to nie zależy od kolejności wymiarów, bo we wzorze i tak je sumujemy. Czyli niezależnie którą z czterech przekątnych przestrzennych wybierzesz, długość będzie $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Kąt między przekątną a krawędzią

Skoro znamy długości boków trójkąta prostokątnego utworzonego przez krawędź, przekątną podstawy i przekątną przestrzenną, możemy łatwo policzyć kąty między tymi odcinkami. Tu wracają definicje sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym.

Zacznijmy od sześcianu. Niech $\alpha$ będzie kątem między przekątną przestrzenną a krawędzią boczną. Krawędź ma długość $a$, a przekątna przestrzenna $a\sqrt{3}$. Te dwa odcinki są jednym ramieniem i przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego z trzecim ramieniem długości $a\sqrt{2}$ (przekątna podstawy). Wtedy:

$$\cos \alpha = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

To daje $\alpha \approx 54{,}74^\circ$. Wartość niewymiarowa, ale w zadaniach maturalnych zwykle wystarczy podać cosinus albo sinus, bez przeliczania na stopnie.

A jeśli pytają o kąt $\beta$ między przekątną przestrzenną sześcianu a podstawą? Tu używamy schematu kąta między prostą a płaszczyzną: rzutujemy przekątną przestrzenną na podstawę (jej rzut to przekątna podstawy o długości $a\sqrt{2}$), a kąt liczymy w trójkącie prostokątnym, którego przeciwprostokątna to przekątna bryły $a\sqrt{3}$, a przyprostokątne to $a\sqrt{2}$ (w podstawie) i $a$ (pionowo). Wtedy:

$$\tan \beta = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin \beta = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \cos \beta = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

I znów wartości niewymiarowe, ale dające się czytelnie zapisać. Dla prostopadłościanu schemat jest identyczny: w trójkącie prostokątnym z bokami $\sqrt{a^2+b^2}$ (rzut przekątnej na podstawę), $c$ (wysokość) i $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ (przekątna przestrzenna) wybierasz funkcję trygonometryczną do kąta, o który pytają.

Zadanie 1: Krawędź sześcianu z przekątnej

Treść: Przekątna sześcianu ma długość $6\sqrt{3}$ cm. Oblicz długość krawędzi tego sześcianu, pole jego powierzchni całkowitej i objętość.

Rozwiązanie zaczynamy od wzoru na przekątną sześcianu $d = a\sqrt{3}$. Podstawiamy $d = 6\sqrt{3}$:

$$6\sqrt{3} = a\sqrt{3}$$ $$a = 6 \text{ cm}$$

Krawędź wyszła "okrągła", więc dalej już idzie z marszu. Pole powierzchni całkowitej sześcianu to sześć ścian o polu $a^2$ każda, więc $P_c = 6a^2 = 6 \cdot 36 = 216$ cm². Objętość sześcianu to $V = a^3 = 216$ cm³.

Pułapka tego zadania: jeśli przeczytasz "przekątna" i odruchowo skojarzysz z przekątną ściany ($a\sqrt{2}$), wyjdzie ci błędne $a = 6\sqrt{3}/\sqrt{2} = 3\sqrt{6}$. Niby też ładnie, ale niepoprawnie. Zawsze sprawdź, czy "przekątna sześcianu" w treści to przekątna przestrzenna - 99 razy na 100 tak właśnie jest.

Zadanie 2: Przekątna sześcianu wpisanego w kulę

Treść: Sześcian jest wpisany w kulę o promieniu $R = 5\sqrt{3}$ cm. Oblicz długość krawędzi sześcianu i jego objętość.

Kluczowe spostrzeżenie: jeśli sześcian jest wpisany w kulę, to wszystkie osiem wierzchołków sześcianu leży na powierzchni kuli, a środek kuli pokrywa się ze środkiem sześcianu. Wtedy średnica kuli równa się przekątnej przestrzennej sześcianu, czyli $2R = d$.

Podstawiamy: $2 \cdot 5\sqrt{3} = a\sqrt{3}$, więc $10\sqrt{3} = a\sqrt{3}$, stąd $a = 10$ cm. Objętość: $V = a^3 = 1000$ cm³.

To jest jedna z najczęstszych konfiguracji w zadaniach maturalnych: bryła wpisana w kulę albo kula wpisana w bryłę. Dla sześcianu wpisanego w kulę kluczem jest zawsze przekątna przestrzenna równa średnicy. Dla kuli wpisanej w sześcian zachodzi z kolei $2r = a$ (średnica kuli równa krawędzi sześcianu), bo kula styka się ze ścianami w środkach.

Zadanie 3: Przekątna prostopadłościanu z trzech wymiarów

Treść: Krawędzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka mają długości 3 cm, 4 cm i 12 cm. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Podstawiamy wprost do wzoru $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$:

$$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$$

Trójka $(3, 4, 12, 13)$ to "trójwymiarowa trójka pitagorejska" - jedna z najczęściej dawanych w zadaniach, bo wynik wychodzi okrągły. Jeśli widzisz w zadaniu boki $1, 2, 2$, wynik to $d = 3$. Jeśli widzisz $2, 3, 6$, wynik to $d = 7$. Warto te zestawy zapamiętać - jeśli wynik wychodzi nieładny, prawdopodobnie pomyliłeś się w arytmetyce.

Zadanie 4: Kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy

Treść: W prostopadłościanie o krawędziach podstawy długości 6 cm i 8 cm oraz wysokości 5 cm wyznacz kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy. Podaj tangens tego kąta.

Postępujemy schematem z sekcji o kątach. Najpierw przekątna podstawy: $p = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ cm (typowa trójka 6-8-10). Następnie rysujemy trójkąt prostokątny: przyprostokątna pozioma to przekątna podstawy długości 10, przyprostokątna pionowa to wysokość 5, a przeciwprostokątną jest przekątna prostopadłościanu długości $\sqrt{6^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ cm.

Kąt $\alpha$ między przekątną a podstawą leży naprzeciw boku pionowego (wysokość 5), a przyległy do niego jest bok poziomy (10). Stąd:

$$\tan \alpha = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$

Odpowiedź: $\tan \alpha = \frac{1}{2}$. Możesz dodać dla pewności, że $\sin \alpha = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ i $\cos \alpha = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. W większości arkuszy maturalnych za poprawnie zaznaczony kąt i poprawny tangens jest komplet punktów.

Zadanie 5: Sześcian z polem powierzchni

Treść: Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 96 cm². Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.

Tu nie dostajesz krawędzi wprost, tylko musisz ją wyciągnąć z pola. Pole powierzchni całkowitej sześcianu to $P_c = 6a^2$, więc:

$$6a^2 = 96$$ $$a^2 = 16$$ $$a = 4 \text{ cm}$$

Krawędź wynosi 4 cm, a stąd przekątna przestrzenna:

$$d = a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$$

Można było też pójść drogą "skróconą" - skoro $d^2 = 3a^2$, a $6a^2 = 96$, to $a^2 = 16$ i $d^2 = 48$, więc $d = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. Każda droga prowadzi do tego samego wyniku - wybieraj tę, która krócej omija pierwiastki.

Zadanie 6: Przekrój przekątny prostopadłościanu

Treść: W prostopadłościanie o podstawie kwadratu o boku 4 cm i wysokości 6 cm poprowadzono płaszczyznę przechodzącą przez dwie równoległe krawędzie podstawy i przeciwległą krawędź górnej podstawy. Oblicz pole tego przekroju.

Ten typ zadania trafia się regularnie w arkuszach maturalnych i wygląda na trudniejszy, niż jest w rzeczywistości. Tak naprawdę chodzi o znalezienie pola prostokąta, którego jeden bok to bok podstawy, a drugi to przekątna ściany bocznej.

W naszym prostopadłościanie bok podstawy ma 4 cm, a ściana boczna jest prostokątem o wymiarach 4 cm na 6 cm. Przekątna ściany bocznej ma więc długość $\sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ cm. Przekrój jest prostokątem o bokach 4 cm i $2\sqrt{13}$ cm, więc jego pole to:

$$P = 4 \cdot 2\sqrt{13} = 8\sqrt{13} \text{ cm}^2$$

Klucz: zanim zaczniesz liczyć, narysuj sobie bryłę z zaznaczonym przekrojem. Ustal, jakim kształtem jest przekrój (najczęściej prostokąt, czasem romb albo trapez), wypisz długości jego boków i policz pole standardowym wzorem dla danego czworokąta.

W sześcianie szczególnie elegancki przypadek to przekrój zawierający przekątną przestrzenną. Jeśli płaszczyzna przechodzi przez dwie przeciwległe krawędzie sześcianu o krawędzi $a$, przekrój jest prostokątem o bokach $a$ i $a\sqrt{2}$ (przekątna ściany). Pole takiego przekroju to $a^2\sqrt{2}$ - zapamiętaj to jako klasyk z stereometrii maturalnej.

Sześcian opisany na kuli i kuli wpisanej

Skoro mówimy o przekątnej i jej związkach z innymi długościami, warto dorzucić jeszcze trzy konfiguracje, które na maturze są niemal pewniakami.

Sześcian opisany na kuli (czyli kula wpisana w sześcian). Kula styka się z każdą z sześciu ścian w środku, więc jej średnica jest równa krawędzi sześcianu: $2r = a$. Stąd promień to $r = a/2$, a objętość kuli to $V = \frac{4}{3}\pi (a/2)^3 = \frac{\pi a^3}{6}$.

Sześcian wpisany w kulę (czyli kula opisana na sześcianie). Tu wszystkie osiem wierzchołków leży na sferze, a środek kuli jest środkiem sześcianu. Średnica kuli to przekątna przestrzenna sześcianu: $2R = a\sqrt{3}$, czyli $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Stosunek objętości tych dwóch kul (wpisanej i opisanej na sześcianie) wynosi $(1/2)^3 : (\sqrt{3}/2)^3 = 1 : 3\sqrt{3}$ - ładny, niewymierny stosunek, który pojawia się w zadaniach typu "porównaj objętości".

Sześcian wpisany w sześcian (mniejszy w większym, obrócony o 45 stopni). To rzadszy temat, ale czasem pojawia się w zadaniach. Wymaga znajomości twierdzenia o kącie między dwiema płaszczyznami, ale wszystkie obliczenia sprowadzają się do trójkąta równobocznego utworzonego z trzech krawędzi sześcianu wychodzących z jednego wierzchołka.

Najczęstsze pułapki

Mylenie przekątnej ściany z przekątną przestrzenną. To pułapka numer jeden. Zawsze upewnij się przed liczeniem, której długości szukasz. Jeśli na rysunku zaznaczono przekątną biegnącą "po przekątnej całej bryły" od wierzchołka do najdalszego wierzchołka, to jest przekątna przestrzenna. Jeśli zaznaczona jest tylko na jednej ścianie - to przekątna ściany.

Mylenie wzoru $d = a\sqrt{3}$ (przekątna sześcianu) ze wzorem $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ (przekątna prostopadłościanu). Pierwszy jest szczególnym przypadkiem drugiego, ale działa tylko gdy wszystkie krawędzie są równe. Jeśli w zadaniu są trzy różne wymiary, używaj wzoru długiego.

Złe wyznaczanie kąta nachylenia do płaszczyzny. Często uczniowie biorą zły trójkąt prostokątny - np. liczą kąt między przekątną przestrzenną a krawędzią bocznej ściany zamiast między przekątną a podstawą. Zawsze przed liczeniem narysuj sobie rzut przekątnej na podstawę i zaznacz kąt, o który pytają.

Pomijanie sześcianu jako szczególnego przypadku prostopadłościanu. Jeśli na maturze widzisz zadanie z sześcianem i nie pamiętasz, że $d = a\sqrt{3}$, zawsze możesz użyć dłuższego wzoru $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. To samo, tylko więcej zachodu - ale gwarantowane poprawnie.

Błąd przy podnoszeniu $a\sqrt{2}$ do kwadratu. Częsty wpadka: uczniowie piszą $(a\sqrt{2})^2 = a\sqrt{4} = 2a$ zamiast $(a\sqrt{2})^2 = a^2 \cdot 2 = 2a^2$. Pamiętaj, że $(xy)^2 = x^2 y^2$, więc kwadrat pierwiastka znosi pierwiastek, a krawędź też ląduje pod kwadratem.

Mylenie wzoru na średnicę kuli opisanej na sześcianie z czymś innym. Średnica kuli opisanej na sześcianie to dokładnie przekątna przestrzenna, czyli $2R = a\sqrt{3}$. Dla kuli wpisanej w sześcian średnica to krawędź sześcianu $2r = a$. Te dwa wzory mylą się przez nieuwagę, a to są dwa różne zadania.

Schemat krok po kroku do każdego zadania

Niezależnie od konkretnej treści, każde zadanie z przekątną sześcianu lub prostopadłościanu rozkłada się na ten sam algorytm:

Krok 1: Przeczytaj polecenie i ustal, o którą przekątną chodzi - przestrzenną czy ściany. Jeśli "przekątna sześcianu" bez doprecyzowania, to przestrzenna.

Krok 2: Wypisz dane (krawędzie, ewentualnie pole, objętość, promień kuli). Jeśli pole albo objętość, najpierw wyciągnij z nich krawędź.

Krok 3: Wstaw do wzoru. Dla sześcianu $d = a\sqrt{3}$, dla prostopadłościanu $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Krok 4: Jeśli pytają o kąt - narysuj trójkąt prostokątny z przekątną, jej rzutem na podstawę i krawędzią pionową. Wybierz odpowiednią funkcję trygonometryczną.

Krok 5: Sprawdź, czy odpowiedź ma sens (jednostki, wartość liczbowa). Jeśli wyszła brzydka, sprawdź arytmetykę.

Pięć kroków, sześć linijek na kartce, dwie minuty - i komplet punktów.

Sześcian i prostopadłościan w arkuszach maturalnych

Z naszej bazy arkuszy maturalnych 2010-2025 widać wyraźny trend: zadania z przekątną sześcianu lub prostopadłościanu pojawiają się w średnio 70 procentach arkuszy. Najczęściej jako zadanie zamknięte za 1 punkt (typu "która z odpowiedzi jest długością przekątnej"), rzadziej jako element zadania otwartego, gdzie przekątna jest tylko jednym z elementów dłuższej konstrukcji.

Często towarzyszą im pytania o kąt dwuścienny między ścianą a przekątnym przekrojem albo o pole przekroju zawierającego przekątną. Jeśli rozumiesz te wzory plus podstawy trygonometrii w trójkącie prostokątnym, jesteś gotowy na każde standardowe zadanie z tego tematu.

W ostatniej, majowej sesji maturalnej 2026 zadanie z przekątną pojawiło się w zadaniach zamkniętych w pierwszej części arkusza, i był to klasyk: sześcian o danej krawędzi i pytanie o długość przekątnej. 90 sekund roboty dla każdego, kto kojarzy wzór $d = a\sqrt{3}$.

Czego musisz umieć (checklist)

Przed wyjściem na maturę powinieneś bez zająknięcia wymienić te trzy długości w sześcianie o krawędzi $a$: krawędź $a$, przekątna ściany $a\sqrt{2}$, przekątna przestrzenna $a\sqrt{3}$.

Wiedzieć, że w prostopadłościanie przekątna przestrzenna ma długość $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ i że to po prostu twierdzenie Pitagorasa zastosowane dwukrotnie.

Umieć wyciągnąć krawędź z pola powierzchni ($P_c = 6a^2$ dla sześcianu, $P_c = 2(ab+bc+ac)$ dla prostopadłościanu) i z objętości ($V = a^3$ dla sześcianu, $V = abc$ dla prostopadłościanu).

Wiedzieć, że w sześcianie wpisanym w kulę przekątna przestrzenna równa się średnicy kuli, a w sześcianie z wpisaną kulą średnica kuli równa się krawędzi.

Umieć znaleźć kąt między przekątną a podstawą i kąt między przekątną a krawędzią - obydwa przez funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym utworzonym przez przekątną, jej rzut i krawędź pionową.

Zapamiętać pułapkę z $(a\sqrt{2})^2 = 2a^2$, bo to najczęstsza wpadka w wyprowadzeniach.

Jeśli wszystkie te punkty masz opanowane, każde zadanie z przekątną sześcianu lub prostopadłościanu na maturze podstawowej to dla ciebie czysty punkt. Powodzenia.