Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z boisk.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 33 × 56 oraz 25 × 60
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2011-31.png]
Krok 2. Wypisanie danych z treści zadania.
s - szerokość pierwszego boiska
d - długość pierwszego boiska
s-8 - szerokość drugiego boiska
d+4 - długość drugiego boiska
p=65 - długość przekątnej boiska
Krok 3. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
W tym zadaniu możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa, bowiem długość i szerokość boiska stanowią przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a przekątna boiska byłaby wtedy przeciwprostokątną. Jeśli ułożymy dwa takie równania (dla pierwszego i drugiego boiska) to będziemy w stanie wyznaczyć długość i szerokość, zatem:
s²+d²=65² (s-8)²+(d+4)²=65² s²+d²=65² s²-16s+64+d²+8d+16=65²
Odejmując ten układ równań stronami pozbędziemy się zarówno s² jaki i d². Jeśli tego nie dostrzeżemy, to równie dobrze możemy podstawić po prawej stronie drugiego równania 65²=s²+d² i wtedy osiągniemy identyczny efekt, więc:
-16s+64+8d+16=0 -16s+8d+80=0 8d=16s-80 d=2s-10
Podstawiając teraz wyznaczoną wartość d=2s-10 do pierwszego równania s²+d²=65² otrzymamy:
s²+(2s-10)²=65² s²+4s²-40s+100=4225 5s²-40s-4125=0 /:5 s²-8s-825=0
Ostatnie dzielenie przez 5 nie jest koniecznie, ale dzięki niemu będziemy mogli za chwilę pracować na nieco mniejszych liczbach.
Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: a=1, b=-8, c=-825
Δ=b²-4ac=(-8)²-4 · 1 · (-825)=64-(-3300)=64+3300=3364 √(Δ)=√(3364)=58
s₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-8)-58)/(2 · 1)=(8-58)/2=-50/2=-25 s₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-8)+58)/(2 · 1)=(8+58)/2=66/2=33
Krok 5. Interpretacja otrzymanych wyników i wskazanie wymiarów obydwu boisk.
Wartość ujemną obliczoną w poprzednim kroku oczywiście odrzucamy, bo szerokość nie może być wartością ujemną. To oznacza, że szerokość pierwszego boiska jest równa s=33. Długość tego boiska obliczymy korzystając z wybranego równania z kroku drugiego, np.:
d=2s-10 d=2 · 33-10 d=66-10 d=56
Wymiary pierwszego boiska to: 33 × 56.
Musimy jeszcze obliczyć wymiary drugiego boiska:
Szerokość drugiego boiska: s-8=33-8=25
Długość drugiego boiska: d+4=56+4=60
Wymiary drugiego boiska to: 25 × 60.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.