Kąt α jest ostry i sin α=1/4. Oblicz 3 + 2tg²α.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 3 2/15
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2011-26.png]
Krok 2. Wyznaczenie wartości cosinusa.
Znając wartość sinusa możemy przy użyciu jedynki trygonometrycznej obliczyć wartość cosinusa:
sin²α+cos²α=1 (1/4)²+cos²α=1 1/16+cos²α=1 cos²α=1-1/16 cos²α=15/16 cosα=√(15/16) cosα=-√(15/16) cosα=√(15)/4 cosα=-√(15)/4
Wartość ujemną odrzucamy, bo z treści zadania wynika, że kąt α jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie.
Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.
Wiedząc, że tgα=sinα/cosα możemy teraz obliczyć wartość tangensa:
tgα=1/4/(√(15)/4) tgα=1/4:√(15)/4 tgα=1/4 · 4/√(15) tgα=1/√(15)
Niewymierności z mianownika na razie nie musimy usuwać, bo jak się za chwilę okaże zniknie nam ona w trakcie dalszych obliczeń.
Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia 3+2tg²α.
Znając wartość tangensa możemy już bez przeszkód dokończyć obliczenie naszego wyrażenia:
3+2tg²α=3+2 · (1/√(15))²= =3+2 · 1/15=3+2/15=3 2/15
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.