Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne AW, BW i CW mają następujące długości: |AW| = 6, |BW| = 9, |CW| = 7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 8√(10)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy na naszym rysunku długości z treści zadania i przeanalizujmy sobie ten ostrosłup:
Potrzebujemy poznać długości wszystkich boków zaznaczonych na zielono, czyli x oraz y do obliczenia pola podstawy oraz wysokość H całego ostrosłupa (którą w naszym przypadku jest odcinek DW).
Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka BD.
Za chwilę będziemy budować różne równania z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to jeszcze przydałoby nam się zapisanie wzoru na długość odcinka BD. Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:
x²+y²=|BD|²
I w takiej formie możemy to na razie zostawić, bo przy Twierdzeniu Pitagorasa i tak posługujemy się długościami boków podniesionymi do kwadratu.
Krok 3. Wypisanie równań na podstawie Twierdzenia Pitagorasa.
Z trójkąta ADW wynika, że: y²+H²=36
Z trójkąta DCW wynika, że: x²+H²=49
Z trójkąta DBW wynika, że: |BD|²+H²=81, czyli x²+y²+H²=81
Krok 4. Wyznaczenie poszczególnych długości.
Podstawiając z pierwszego równania y²+H²=36 do trzeciego równania otrzymamy:
x²+36=81 x²=45 x=√(45)=√(9 · 5)=3√(5)
Podstawiając x=√(45) do drugiego równania otrzymamy:
(√(45))²+H²=49 45+H²=49 H²=4 H=2
Podstawiając H=2 do pierwszego równania otrzymamy:
y²+2²=36 y²+4=36 y²=32 y=√(32)=√(16 · 2)=4√(2)
Krok 5. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie znajduje się prostokąt o bokach x oraz y, zatem:
P_p=x · y P_p=3√(5) · 4√(2) P_p=12√(10)
Krok 6. Obliczenie objętości bryły.
Znamy wszystkie potrzebne długości, zatem możemy przejść do obliczenia objętości:
V=1/3 P_p · H V=1/3 · 12√(10) · 2 V=4√(10) · 2 V=8√(10)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.