Na bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty ABDE, CBGH i ACKL. Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Spróbujmy połączyć ze sobą punkty LE, DG oraz KH. Powstaną nam wtedy trzy trójkąty ΔLEA, ΔDGB oraz ΔKCH i będą to trójkąty równoramienne (bo ramionami są boki identycznych kwadratów).
Możemy nawet obliczyć miarę tego kąta rozwartego każdego z tych trójkątów i będzie to 120°. Skąd to wiemy? Spójrzmy na poniższy rysunek i na kąt ∢LAE. W skład kąta pełnego wchodzą dwa kąty z kwadratów, kąt z trójkąta równobocznego oraz nasz kąt rozwarty ∢LAE, zatem:
|∢LAE|=360°-90°-90°-60°=120°
Analogicznie możemy przeanalizować kąty ∢DBG oraz ∢KCH.
To z kolei prowadzi nas do bardzo ważnego wniosku - skoro trójkąty ΔLAE, ΔDGB oraz ΔKCH mają te same długości ramion i mają taki sam kąt między ramionami, to na pewno są to trójkąty przystające (cecha bok-kąt-bok).
Tutaj warto też nadmienić, że kąty przy niebieskich podstawach będą mieć 30°. Skąd to wiemy? Są to trójkąty równoramienne, a kąt między ich ramionami wynosi 120°, zatem każdy z kątów przy podstawie musi mieć: (180°-120°):2=30°. Ta wiedza przyda nam się w drugim kroku.
Krok 2. Udowodnienie, że trójkąty ΔEDG, ΔKHG, ΔLKE są przystające i zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy teraz na kolejny rysunek:
Z pierwszego kroku wynika, że odcinki LE, DG oraz KH są sobie równe. Równe też są na pewno odcinki LK, ED oraz HG, bo są to boki kwadratów. Widzmy także, że kąty:
|∢KLE|=|∢EDG|=|∢KHG|=90°+30°=120°
To oznacza, że trójkąty ΔEDG, ΔKHG, ΔLKE są także trójkątami przystającymi, a skoro tak, to mają identyczne długości odcinków |KE|=|EG|=|GK|, co jest dowodem na to, że trójkąt ΔKGE jest równoboczny.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.