Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (a_n) określony wzorem a_n = 2n² - 9 dla n ≥ 1?
Odpowiedzi do wyboru
- A.0
- B.1
- C.2
- D.3
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Sposób I - obliczenie wartości kilku początkowych wyrazów:
W przypadku tego zadania najprościej jest wyznaczyć sobie wartości kilku pierwszych wyrazów i sprawdzić ile z nich będzie ujemnych. Po odpowiedziach widzimy, że dużo liczenia nas nie czeka, bo będą to maksymalnie trzy wyrazy. Zatem:
a₁=2 · 1²-9=2 · 1-9=2-9=-7 a₂=2 · 2²-9=2 · 4-9=8-9=-1 a₃=2 · 3²-9=2 · 9-9=18-9=9
Widzimy, że tylko dwa pierwsze wyrazy są ujemne, zatem prawidłowa jest odpowiedź C.
Sposób II - obliczenie za pomocą ułożonej nierówności:
Powyższy sposób nie sprawdziłby się nam w zadaniach z trudniejszymi liczbami albo w zadaniach otwartych. Spróbujmy więc dojść do rozwiązania w nieco bardziej matematyczny sposób. Szukamy wyrazów ujemnych, zatem:
2n²-9 < 0 2n² < 9 n² < 4,5
Teraz musimy się zastanowić jakie liczby naturalne podniesione do kwadratu dadzą wynik mniejszy niż 4,5 (interesują nas tylko liczby naturalne, bo w ciągach n ∈ N). Na pewno takimi liczbami będą 1 oraz 2 i to są jedyne dwie możliwości. Zatem to oznacza, że w naszym ciągu znajdą się tylko dwa wyrazy ujemne.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.