Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 · 2 · 3 · ... · 16, jest podzielny przez 2¹⁵.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
W tym zadaniu należało zauważyć, że wszystkie liczby parzyste można zapisać używając dwójki w pewnej potędze:
2=2¹ 4=2² 6=2¹ · 3 8=2³ 10=2¹ · 5 12=2² · 3 14=2¹ · 7 16=2⁴
Gdybyśmy teraz pomnożyli przez siebie te wszystkie liczby parzyste to otrzymalibyśmy:
2¹ · 2² · 2¹ · 3 · 2³ · 2¹ · 5 · 2² · 3 · 2¹ · 7 · 2⁴= =2^(1+2+1+3+1+2+1+4) · 3 · 3 · 5 · 7= 2¹⁵ · 3 · 3 · 5 · 7
Udało nam się udowodnić, że mnożąc przez siebie wszystkie parzyste liczby wynik jest na pewno podzielny przez 2¹⁵. To oznacza, że możemy teraz mnożyć to działanie przez cokolwiek (np. przez liczby nieparzyste, które pominęliśmy), a wynik nadal będzie podzielny przez 2¹⁵, co należało udowodnić.
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.