W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 90. Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
Odpowiedzi do wyboru
- A.300
- B.300√(3)
- C.300+50√(3)
- D.300+25√(3)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2011-23.png]
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi graniastosłupa.
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym mamy 9 krawędzi. Skąd to wiemy? Możemy to albo sobie wyobrazić (trzy krawędzie w podstawie dolnej, trzy krawędzie w podstawie górnej i trzy krawędzie boczne), albo możemy skorzystać ze wzoru na liczbę krawędzi w graniastosłupach. Graniastosłup posiadającego w swojej podstawie n-kąt ma liczbę krawędzi równą 3n. Czyli w naszym przypadku skoro n=3, to liczba krawędzi będzie równa 3 · 3=9.
Skoro suma wszystkich krawędzi jest równa 90, a takich krawędzi mamy 9, to każda z nich ma długość:
a=90:9 a=10
Krok 3. Obliczenie powierzchni podstawy dolnej i górnej.
W podstawie dolnej i górnej znajduje się trójkąt równoboczny o boku a=10. Pole każdej z tych podstaw będzie więc równe:
P_p=a²√(3)/4 P_p=10²√(3)/4 P_p=100√(3)/4 P_p=25√(3)
Krok 4. Obliczenie powierzchni ściany bocznej.
W ścianie bocznej znajdzie się kwadrat o boku a=10, zatem:
P_b=a² P_b=10² P_b=100
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Mamy dwie podstawy (dolna oraz górna) oraz trzy ściany boczne, zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:
P_c=2P_p+3P_b P_c=2 · 25√(3)+3 · 100 P_c=300+50√(3)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.