Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 70. Na boku AB obrano punkt E, na przekątnej AC obrano punkt F, a na boku AD obrano punkt G - tak, że czworokąt AEFG jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto |EF|=30 i |GF|=40. Obwód prostokąta ABCD jest równy:
Odpowiedzi do wyboru
- A.158
- B.196
- C.336
- D.490
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa prostokątów i zapisanie stosunku długości boków.
W zadaniu mamy do czynienia z prostokątami podobnymi. Z treści zadania wynika, że ten mały prostokąt AEFG ma wymiary 40 × 30, zatem stosunek długości boków wynosi tutaj 40:30, czyli 4:3. Analogiczny stosunek długości boków musi więc wystąpić w tym drugim prostokącie, zatem możemy zapisać, że bok AB=4x oraz BC=3x.
Krok 2. Obliczenie długości boków prostokąta ABCD.
Spójrzmy na trójkąt ABC. Jest to trójkąt prostokątny w którym przyprostokątne mają długość 3x oraz 4x, a przeciwprostokątna jest równa 70 (zgodnie z treścią zadania). Skoro tak, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
(3x)²+(4x)²=70² 9x²+16x²=4900 25x²=4900 x²=196 x=14 x=-14
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam x=14.
Skoro tak, to długości boków naszego prostokąta będą następujące:
|AB|=4x=4 · 14=56 |BC|=3x=3 · 14=42
Wiemy już zatem, że nasz duży prostokąt ma wymiary 56 × 42.
Krok 3. Obliczenie obwodu prostokąta ABCD.
Na koniec została już tylko formalność, czyli obliczenie obwodu tej figury:
Obw=2 · 56+2 · 42 Obw=112+84 Obw=196
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.