Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne AC i BD tego trapezu przecinają się w punkcie S (zobacz rysunek) tak, że |AS|/|SC|=3/2. Pole trójkąta ABS jest równe 12. Oblicz pole trójkąta CDS.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 16/3
Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Jedną z własności trapezów jest to, że przekątne trapezu dzielą go na trójkąty podobne ABS oraz CDS. Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to zawsze możemy do niej dość samodzielnie korzystając z własności kątów wierzchołkowych oraz naprzemianległych (udowodnimy wtedy, że wszystkie kąty trójkątów ABS oraz CDS mają jednakowe miary).
Z treści zadania wiemy też, że AS/SC=3/2, czyli tym samym skala podobieństwa tych trójkątów jest równa właśnie k=3/2. I tu aby się nie pomylić możemy przyjąć, że trójkąt DCS jest trójkątem podstawowym, a trójkąt ABS jest trójkątem podobnym i to właśnie boki tego trójkąta są 3/2 razy większe.
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta CDS.
Z własności trójkątów podobnych wiemy, że trójkąt podobny w skali k będzie miał k² razy większe pole. Możemy więc zapisać, że:
P_(ABS)=k² · P_(CDS) 12=(3/2)² · P_(CDS) 12=9/4 · P_(CDS) P_(CDS)=16/3=5 1/3
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.