W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty, a kąt przy wierzchołku B ma miarę 30° . Na boku AB tego trójkąta obrano punkt D tak, że miara kąta CDA jest równa 60° oraz |AD|=6 (zobacz rysunek). Oblicz |BD|.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 12
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wiedząc, że suma kątów w trójkącie jest równa 180°, powstanie nam następująca sytuacja:
Kluczowym wnioskiem jaki płynie z tego rysunku jest to, że trójkąt DBC jest równoramienny, w którym |CD|=|BD|. To obserwacja znacząco ułatwia rozwiązanie zadania, ponieważ długość odcinka CD jesteśmy w stanie podać niemalże od ręki, korzystając z własności trójkątów o kątach 30°,60°,90°.
Krok 2. Obliczenie długości odcinka CD oraz BD.
Spójrzmy na trójkąt ADC. Jest to trójkąt o kątach 30°,60°,90°. Z własności tych trójkątów wiemy, że przyprostokątna leżąca przy kącie 60° jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, a to by oznaczało, że:
|CD|=2 · 6 |CD|=12
W pierwszym kroku ustaliliśmy już, że boki CD oraz poszukiwany BD mają jednakową miarę, zatem |BD|=12.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.