Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=(5-3n)/7 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Trójwyrazowy ciąg (a₄, x²+2,a₁₁), gdzie x jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz x oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=0, q=-2
Krok 1. Obliczenie wartości a₄ oraz a₁₁.
Na początek uporządkujmy sobie o co chodzi w zadaniu, bo tak na pierwszy rzut oka można się pogubić. Mamy jakiś ciąg a_n i on jest określony wzorem (5-3n)/7. Czwarty oraz jedenasty wyraz tego ciągu znajduje się także w innym, trójwyrazowym ciągu geometrycznym i to właśnie w tym ciągu znajduje się poszukiwana niewiadoma x. Obliczenia zaczniemy więc od obliczenia a₄ oraz a₁₁. W tym celu musimy do wzoru ciągu podstawić najpierw n=4, a potem n=11, zatem:
a₄=(5-3 · 4)/7=(5-12)/7=-7/7=-1 a₁₁=(5-3 · 11)/7=(5-33)/7=-28/7=-4
Krok 2. Obliczenie wartości x.
Wartość x ukrywa się w środkowym wyrazie naszego ciągu geometrycznego. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów tego ciągu zachodzi następująca równość:
a₂²=a₁ · a₃
Podstawiając teraz znane nam wartości, otrzymamy:
(x²+2)²=(-1) · (-4) x⁴+4x²+4=4 x⁴+4x²=0
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania.
Powstało nam równanie czwartego stopnia, ale w takiej postaci, którą jesteśmy w stanie rozwiązać. W tym celu wystarczy wyłączyć z x⁴ oraz 4x² wartość x², otrzymując:
x²(x²+4)=0
Teraz zachowujemy się identycznie jak przy postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
x²=0 x²+4=0 x=0 x²=-4
Z racji tego, iż z drugiego równania nie mamy żadnych rozwiązań (nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje -4), to jedynym rozwiązaniem tego równania jest x=0.
Krok 4. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
x=0 to nie jest drugi wyraz ciągu geometrycznego! Drugim wyrazem ciągu jest x²+2, czyli:
a₂=0²+2 a₂=0+2 a₂=2
To oznacza, że nasz ciąg geometryczny przyjmuje postać: -1, 2, -4.
Krok 5. Obliczenie wartości ilorazu q.
Znając dwa sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego, obliczenie ilorazu jest już tylko formalnością:
q=a₂/a₁ q=2/-1 q=-2
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.